$a, b$ は有理数とする。$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は有理数とする。$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$a \neq 0$ または $b \neq 0$ と仮定する。

(i) $a \neq 0$ のとき：

$\sqrt{2}a = -\sqrt{3}b$

$\sqrt{2} = -\sqrt{3} \frac{b}{a}$

$\sqrt{2} = -\frac{b}{a}\sqrt{3}$

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{b^2}{a^2} \times 3$

$2a^2 = 3b^2$

$2/3 = b^2/a^2$

もし $b\neq 0$の場合、$b/a= \sqrt{2/3}$になり、$a$と$b$が有理数であるにも関わらず$\sqrt{2/3}$は無理数になるので矛盾。

一方、$b = 0$の場合、$2a^2= 0$となり、$a=0$となるが、$a\neq 0$に矛盾。

(ii) $b \neq 0$ のとき：

$\sqrt{3}b = -\sqrt{2}a$

$\sqrt{3} = -\sqrt{2} \frac{a}{b}$

$\sqrt{3} = -\frac{a}{b}\sqrt{2}$

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{a^2}{b^2} \times 2$

$3b^2 = 2a^2$

$3/2 = a^2/b^2$

もし $a\neq 0$の場合、$a/b= \sqrt{3/2}$になり、$a$と$b$が有理数であるにも関わらず$\sqrt{3/2}$は無理数になるので矛盾。

一方、$a = 0$の場合、$3b^2= 0$となり、$b=0$となるが、$b\neq 0$に矛盾。

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ でなければならない。

3. 最終的な答え

$a = b = 0$