$x, y$ を相異なる正の実数とします。数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = xa_n + y^{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するような座標平面上の点 $(x, y)$ の範囲を図示してください。

1. 問題の内容

$x, y$ を相異なる正の実数とします。数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = xa_n + y^{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するような座標平面上の点 $(x, y)$ の範囲を図示してください。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の漸化式は $a_{n+1} = xa_n + y^{n+1}$ です。

この漸化式を変形して一般項を求めることを試みます。

まず、$a_1=0$ なので、$a_2 = xa_1 + y^2 = y^2$ となります。

次に、$a_3 = xa_2 + y^3 = xy^2 + y^3$ となります。

さらに、$a_4 = xa_3 + y^4 = x^2y^2 + xy^3 + y^4$ となります。

一般的に、

$a_n = y^n + xy^{n-1} + x^2y^{n-2} + \dots + x^{n-2}y^2$

と推測できます。

この式を$\sum$を用いて表すと、

$a_n = \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-k} = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k} = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k}$ となります。

$a_n = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k} = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k} = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k}$

両辺を$x^n$で割ると、$a_{n+1} = xa_n + y^{n+1}$より、

$\frac{a_{n+1}}{y^{n+1}} = x\frac{a_n}{y^{n+1}} + 1$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{y^n}$ とおくと、$a_n = y^n b_n$ より、

$y^{n+1}b_{n+1} = xy^nb_n + y^{n+1}$

$b_{n+1} = \frac{x}{y}b_n + 1$

これは等差数列型なので、$b_{n+1} + \alpha = \frac{x}{y}(b_n+\alpha)$ と変形できると仮定すると

$b_{n+1} = \frac{x}{y}b_n + (\frac{x}{y} - 1) (-\alpha)$

$1 = (\frac{x}{y} - 1) (-\alpha)$

$\alpha = \frac{-1}{\frac{x}{y}-1} = \frac{-y}{x-y}$

$b_{n+1} + \frac{y}{y-x} = \frac{x}{y} (b_n + \frac{y}{y-x})$

$b_1 = \frac{a_1}{y^1} = 0$

$b_n + \frac{y}{y-x} = (\frac{x}{y})^{n-1} (b_1 + \frac{y}{y-x}) = (\frac{x}{y})^{n-1} \frac{y}{y-x}$

$b_n = (\frac{x}{y})^{n-1} \frac{y}{y-x} - \frac{y}{y-x} = \frac{y}{y-x} ((\frac{x}{y})^{n-1} - 1)$

$a_n = y^n b_n = \frac{y^{n+1}}{y-x} ((\frac{x}{y})^{n-1} - 1)$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{y^{n+1}}{y-x} ((\frac{x}{y})^{n-1} - 1)$

$\lim_{n \to \infty} \frac{y^{n+1}}{y-x} ((\frac{x}{y})^{n-1} - 1) = \lim_{n \to \infty} \frac{y^{n+1}}{y-x} \frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} - \frac{y^{n+1}}{y-x} = \lim_{n \to \infty} \frac{y^2 x^{n-1}}{y-x} - \frac{y^{n+1}}{y-x}$

$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するためには、$\lim_{n \to \infty} x^n$ と $\lim_{n \to \infty} y^n$ が収束する必要があります。

$x>0, y>0$ より、$0 < x < 1$ かつ $0 < y < 1$ である必要があります。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{y^{n+1}}{y-x} ((\frac{x}{y})^{n-1}-1)$

$0 < x < y < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{y^2}{x-y}$

$0 < y < x < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{y^2}{x-y}$

$x \ne y$ であるため、求める領域は $0 < x < 1$ , $0 < y < 1$ かつ $x \ne y$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$, $0 < y < 1$ かつ $x \ne y$

これは、単位正方形の中 (境界は含まない) で、直線 $y=x$ 上の点を除く領域になります。