与えられた三角関数を含む等式を満たす角度 $\theta$ を、 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求める問題です。具体的には、 (1) $\cos \theta = 0$ (2) $\sqrt{2} \sin \theta = 1$ (3) $\tan \theta + 1 = 0$ (4) $2\sin(180^\circ - \theta) = 1$ の4つの等式を満たす$\theta$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数を含む等式を満たす角度 $\theta$ を、 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求める問題です。具体的には、

(1) $\cos \theta = 0$

(2) $\sqrt{2} \sin \theta = 1$

(3) $\tan \theta + 1 = 0$

(4) $2\sin(180^\circ - \theta) = 1$

の4つの等式を満たす$\theta$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta = 0$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で$\cos \theta = 0$となるのは$\theta = 90^\circ$のときです。

(2) $\sqrt{2} \sin \theta = 1$

両辺を$\sqrt{2}$で割ると、

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$となるのは$\theta = 45^\circ$と$\theta = 135^\circ$のときです。

(3) $\tan \theta + 1 = 0$

$\tan \theta = -1$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で$\tan \theta = -1$となるのは$\theta = 135^\circ$のときです。

(4) $2\sin(180^\circ - \theta) = 1$

両辺を2で割ると、

$\sin(180^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$

ここで、$180^\circ - \theta = \alpha$とおくと、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$なので、$0^\circ \le 180^\circ - \theta \le 180^\circ$ つまり、$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$です。

$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$の範囲で$\sin \alpha = \frac{1}{2}$となるのは$\alpha = 30^\circ$と$\alpha = 150^\circ$のときです。

$\alpha = 30^\circ$のとき、$180^\circ - \theta = 30^\circ$より、$\theta = 150^\circ$

$\alpha = 150^\circ$のとき、$180^\circ - \theta = 150^\circ$より、$\theta = 30^\circ$

したがって、$\theta = 30^\circ, 150^\circ$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 90^\circ$

(2) $\theta = 45^\circ, 135^\circ$

(3) $\theta = 135^\circ$

(4) $\theta = 30^\circ, 150^\circ$