問題は2つあります。 (1) 三角形ABCにおいて、BC = 200m, ∠ABC = 60°, ∠ACB = 75°のとき、ACの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの3辺の長さが与えられたとき、∠Aが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを判定せよ。 (ア) a = 9, b = 8, c = 7 (イ) a = 2√2, b = √2, c = √5

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 三角形ABCにおいて、BC = 200m, ∠ABC = 60°, ∠ACB = 75°のとき、ACの長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの3辺の長さが与えられたとき、∠Aが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを判定せよ。

(ア) a = 9, b = 8, c = 7

(イ) a = 2√2, b = √2, c = √5

2. 解き方の手順

(1)

まず、∠BACを求める。三角形の内角の和は180°なので、

$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 75° = 45°$

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin∠ABC} = \frac{BC}{\sin∠BAC}$

$AC = \frac{BC \cdot \sin∠ABC}{\sin∠BAC} = \frac{200 \cdot \sin60°}{\sin45°} = \frac{200 \cdot (\sqrt{3}/2)}{(\sqrt{2}/2)} = \frac{200\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{6}$

(2)

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ なので、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

(ア) a = 9, b = 8, c = 7

$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{64 + 49 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7} > 0$

$\cos A > 0$ なので、Aは鋭角。

(イ) a = 2√2, b = √2, c = √5

$\cos A = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2 + 5 - 8}{2\sqrt{10}} = \frac{-1}{2\sqrt{10}} < 0$

$\cos A < 0$ なので、Aは鈍角。

3. 最終的な答え

(1) $AC = 100\sqrt{6}$

(2)

(ア) 鋭角

(イ) 鈍角