与えられた各直角三角形において、指定された三角比の値を求める問題です。 (1) $\triangle ABC$ において、$\sin A$, $\cos A$, $\sin B$, $\tan B$ を求める。$AB=7$, $AC=5$ (2) $\triangle ABC$ において、$\sin A$, $\tan A$, $\cos B$, $\tan B$ を求める。$AC=3$, $BC=2$ (3) $\triangle ABD$ において、$\sin A$, $\cos A$, $\sin D$, $\tan D$, $\sin B$, $\cos B$ を求める。$AC=4$, $AD=BD=5$

1. 問題の内容

与えられた各直角三角形において、指定された三角比の値を求める問題です。

(1) $\triangle ABC$ において、$\sin A$, $\cos A$, $\sin B$, $\tan B$ を求める。$AB=7$, $AC=5$

(2) $\triangle ABC$ において、$\sin A$, $\tan A$, $\cos B$, $\tan B$ を求める。$AC=3$, $BC=2$

(3) $\triangle ABD$ において、$\sin A$, $\cos A$, $\sin D$, $\tan D$, $\sin B$, $\cos B$ を求める。$AC=4$, $AD=BD=5$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{7}$

$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{7}$

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(2) $\triangle ABC$ は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$

$\cos B = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{2}$

(3) $\triangle ACD$ は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より $CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$

$\sin A = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{5}$

$\cos A = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{5}$

$\sin D = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{5}$

$\tan D = \frac{AC}{CD} = \frac{4}{3}$

$\triangle ABD$ は $AD=BD=5$ なので二等辺三角形である。$CD \perp AB$ であるため、$CD$ は $\triangle ABD$ の高さであり、かつ $AB$ を二等分する。$CD = 3$ であるため、$CB = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ であり、$AB = AC + CB = 4+4 = 8$ 。よって $\triangle ABC$ において、$AC = 4$、$CB = 4$、$AB = 8$ 。

$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$

$\cos B = \frac{CD}{BD} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{7}$, $\cos A = \frac{5}{7}$, $\sin B = \frac{5}{7}$, $\tan B = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{13}}{13}$, $\tan A = \frac{2}{3}$, $\cos B = \frac{3\sqrt{13}}{13}$, $\tan B = \frac{3}{2}$

(3) $\sin A = \frac{3}{5}$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $\sin D = \frac{4}{5}$, $\tan D = \frac{4}{3}$, $\sin B = \frac{4}{5}$, $\cos B = \frac{3}{5}$