点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1：接点の座標を仮定する

接点の座標を $(x_1, y_1)$ とおく。この点は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 5$

が成り立つ。

ステップ2：接線の方程式を立てる

接点 $(x_1, y_1)$ における円 $x^2 + y^2 = 5$ の接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = 5$

と表される。

ステップ3：点A(1, 3)が接線上にある条件を適用する

この接線が点A(1, 3)を通ることから、接線の方程式に $x = 1$ と $y = 3$ を代入すると、

$x_1 + 3y_1 = 5$

が得られる。

ステップ4：$x_1$と$y_1$に関する連立方程式を解く

$x_1^2 + y_1^2 = 5$ と $x_1 + 3y_1 = 5$ の2つの式から $x_1$ と $y_1$ を求める。

$x_1 = 5 - 3y_1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 5$ に代入すると、

$(5 - 3y_1)^2 + y_1^2 = 5$

$25 - 30y_1 + 9y_1^2 + y_1^2 = 5$

$10y_1^2 - 30y_1 + 20 = 0$

$y_1^2 - 3y_1 + 2 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 2) = 0$

よって、$y_1 = 1$ または $y_1 = 2$ となる。

(i) $y_1 = 1$ のとき、$x_1 = 5 - 3(1) = 2$

(ii) $y_1 = 2$ のとき、$x_1 = 5 - 3(2) = -1$

ステップ5：接点と接線の方程式を求める

(i) 接点が (2, 1) のとき、接線の方程式は $2x + y = 5$

(ii) 接点が (-1, 2) のとき、接線の方程式は $-x + 2y = 5$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $2x + y = 5$ と $-x + 2y = 5$ である。

接点の座標は (2, 1) と (-1, 2) である。