## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$

(2) $x(x+1)(x+2)(x+3)$

(3) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$

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2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

**(1) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$**

まず、項を組み合わせて計算しやすい形にします。

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) = [(x+1)(x-2)][(x+3)(x-4)]$

それぞれの括弧を展開します。

$(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$

$(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$

展開した式を掛け合わせます。

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 12)$

$A = x^2 - x$ と置換すると、

$(A - 2)(A - 12) = A^2 - 14A + 24$

$A$を元に戻します。

$(x^2 - x)^2 - 14(x^2 - x) + 24$

展開します。

$x^4 - 2x^3 + x^2 - 14x^2 + 14x + 24 = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

**(2) $x(x+1)(x+2)(x+3)$**

まず、項を組み合わせて計算しやすい形にします。

$x(x+1)(x+2)(x+3) = [x(x+3)][(x+1)(x+2)]$

それぞれの括弧を展開します。

$x(x+3) = x^2 + 3x$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

展開した式を掛け合わせます。

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$

$A = x^2 + 3x$ と置換すると、

$A(A + 2) = A^2 + 2A$

$A$を元に戻します。

$(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x)$

展開します。

$(x^4 + 6x^3 + 9x^2) + (2x^2 + 6x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

**(3) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$**

まず、項を組み合わせて計算しやすい形にします。

$(x+1)(x+6)(x+2)(x+3) = [(x+1)(x+6)][(x+2)(x+3)]$

それぞれの括弧を展開します。

$(x+1)(x+6) = x^2 + 6x + x + 6 = x^2 + 7x + 6$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

展開した式を掛け合わせます。

$(x^2 + 7x + 6)(x^2 + 5x + 6)$

$A = x^2 + 6$ と置換すると、

$(A + 7x)(A + 5x) = A^2 + 12xA + 35x^2$

$A$を元に戻します。

$(x^2 + 6)^2 + 12x(x^2 + 6) + 35x^2$

展開します。

$x^4 + 12x^2 + 36 + 12x^3 + 72x + 35x^2 = x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36$

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3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

(2) $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

(3) $x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36$