与えられた極方程式 $r \cos(\theta - \frac{5}{6}\pi) = 1$ を直交座標の方程式に変換します。

1. 問題の内容

与えられた極方程式 $r \cos(\theta - \frac{5}{6}\pi) = 1$ を直交座標の方程式に変換します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を利用して $\cos(\theta - \frac{5}{6}\pi)$ を展開します。

$$\cos(\theta - \frac{5}{6}\pi) = \cos \theta \cos \frac{5}{6}\pi + \sin \theta \sin \frac{5}{6}\pi$$

次に、$\cos \frac{5}{6}\pi$ と $\sin \frac{5}{6}\pi$ の値を求めます。

$\frac{5}{6}\pi$ は第二象限の角であり、$\frac{\pi}{6}$ を基準とすると、

$$\cos \frac{5}{6}\pi = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin \frac{5}{6}\pi = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

したがって、

$$\cos(\theta - \frac{5}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$$

与えられた極方程式は $r \cos(\theta - \frac{5}{6}\pi) = 1$ であるので、これを代入すると、

$$r (-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta) = 1$$

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta + \frac{1}{2} r \sin \theta = 1$$

ここで、$x = r \cos \theta$ および $y = r \sin \theta$ であることを利用して、直交座標に変換します。

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 1$$

両辺に2をかけて、

$$-\sqrt{3} x + y = 2$$

したがって、

$$y = \sqrt{3} x + 2$$

3. 最終的な答え

$y = \sqrt{3} x + 2$