$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle B = 2\theta$ である二等辺三角形 $ABC$ がある。この三角形に内接する円に接し、辺 $BC$ に平行な直線が辺 $AB, AC$ と交わる点をそれぞれ $D_1, E_1$ とし、線分 $D_1E_1$ の長さを $a_1$ とする。さらに三角形 $AD_1E_1$ に内接する円に接し、辺 $D_1E_1$ に平行な直線と辺 $AD_1, AE_1$ との交点を点 $D_2, E_2$ とし、線分 $D_2E_2$ の長さを $a_2$ とする。この操作を繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_nE_n$ の長さ $a_n$ を求め、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を $\cos B$ で表す。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle B = 2\theta$ である二等辺三角形 $ABC$ がある。この三角形に内接する円に接し、辺 $BC$ に平行な直線が辺 $AB, AC$ と交わる点をそれぞれ $D_1, E_1$ とし、線分 $D_1E_1$ の長さを $a_1$ とする。さらに三角形 $AD_1E_1$ に内接する円に接し、辺 $D_1E_1$ に平行な直線と辺 $AD_1, AE_1$ との交点を点 $D_2, E_2$ とし、線分 $D_2E_2$ の長さを $a_2$ とする。この操作を繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_nE_n$ の長さ $a_n$ を求め、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を $\cos B$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$ を求める。

$AD_1E_1$ も二等辺三角形であり、$\angle ADE = \angle ABC = 2\theta$である。

三角形$ABC$と三角形$AD_1E_1$は相似であり、相似比は$\frac{a_1}{1} = a_1$となる。

三角形の内接円の半径を$r$とすると、$a_1 = 1-2r/\tan{\theta}$.

三角形$ABC$の面積は$1/2 * 1 * AB \sin(2\theta)$.

また、$AB = \frac{1}{2\cos{2\theta}}$となる。

$1/2 * 1 * \frac{1}{2\cos{2\theta}} * \sin{2\theta} = s * r = \frac{1+ \frac{2}{2\cos{2\theta}}}{2} * r$

$a_1 = D_1E_1/BC = AD_1/AB$

$a_n = (a_1)^{n-1} a_1 = (a_1)^n$

$a_1 = \cos{2\theta} = \cos{B}$

したがって、$a_n = (\cos{B})^n$

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を求める。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\cos{B})^n = \frac{\cos{B}}{1-\cos{B}}$

3. 最終的な答え

$a_n = (\cos B)^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{\cos B}{1 - \cos B}$