次の3つの条件を満たす球面の方程式を求めます。 (1) 2点A(3, 2, -4), B(-1, 2, 0)を直径の両端とする球面 (2) 点(3, -5, 2)を中心とし、xy平面に接する球面 (3) 4点(0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, -8) を通る球面

1. 問題の内容

次の3つの条件を満たす球面の方程式を求めます。

(1) 2点A(3, 2, -4), B(-1, 2, 0)を直径の両端とする球面

(2) 点(3, -5, 2)を中心とし、xy平面に接する球面

(3) 4点(0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, -8) を通る球面

2. 解き方の手順

(1)

まず、球の中心を求めます。中心は線分ABの中点なので、

$((3-1)/2, (2+2)/2, (-4+0)/2) = (1, 2, -2)$

次に、半径を求めます。半径は線分ABの半分の長さなので、ABの長さを求め、2で割ります。

$AB = \sqrt{(3-(-1))^2 + (2-2)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

したがって、半径は$2\sqrt{2}$です。

球面の方程式は、$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$で表されるので、

$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$

(2)

中心が(3, -5, 2)でxy平面に接するということは、球の半径はz座標の絶対値に等しくなります。

したがって、半径は2です。

球面の方程式は、

$(x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = 2^2 = 4$

(3)

球面の方程式を$x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$とします。

4点(0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, -8) を通るので、それぞれ代入します。

(0, 0, 0)を代入すると、$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + d = 0$より、$d = 0$

(6, 0, 0)を代入すると、$36 + 6a = 0$より、$a = -6$

(0, 4, 0)を代入すると、$16 + 4b = 0$より、$b = -4$

(0, 0, -8)を代入すると、$64 - 8c = 0$より、$c = 8$

したがって、球面の方程式は$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y + 8z = 0$

平方完成すると、

$(x-3)^2 - 9 + (y-2)^2 - 4 + (z+4)^2 - 16 = 0$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 9 + 4 + 16 = 29$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 8$

(2) $(x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = 4$

(3) $(x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 29$