与えられた極方程式を直交座標の方程式で表す問題です。 (1) $r^2 \sin 2\theta = 2$ (2) $r = 2 \sin \theta$ (3) $r (\sin \theta - \cos \theta) = 1$

1. 問題の内容

与えられた極方程式を直交座標の方程式で表す問題です。

(1) $r^2 \sin 2\theta = 2$

(2) $r = 2 \sin \theta$

(3) $r (\sin \theta - \cos \theta) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $r^2 \sin 2\theta = 2$ の場合

極座標と直交座標の変換式 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ および $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用います。

$r^2 \sin 2\theta = r^2 (2 \sin \theta \cos \theta) = 2 (r \sin \theta) (r \cos \theta) = 2xy$

したがって、$2xy = 2$ より、$xy = 1$

(2) $r = 2 \sin \theta$ の場合

両辺に $r$ を掛けると、$r^2 = 2 r \sin \theta$ となります。

極座標と直交座標の変換式 $r^2 = x^2 + y^2$, $y = r \sin \theta$ を用います。

$x^2 + y^2 = 2y$

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

(3) $r (\sin \theta - \cos \theta) = 1$ の場合

$r \sin \theta - r \cos \theta = 1$

極座標と直交座標の変換式 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用います。

$y - x = 1$

$y = x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $xy = 1$

(2) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$

(3) $y = x + 1$