直角三角形XYZがあり、∠XYZ = 90°である。点Aは辺XY上をXからYへ、点Bは辺YZ上をYからZへ進む。点Aの速度は毎秒1cm、点Bの速度は毎秒3cmである。XY = 20cm、YZ = 30cmのとき、AB間の距離が最短になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

直角三角形XYZがあり、∠XYZ = 90°である。点Aは辺XY上をXからYへ、点Bは辺YZ上をYからZへ進む。点Aの速度は毎秒1cm、点Bの速度は毎秒3cmである。XY = 20cm、YZ = 30cmのとき、AB間の距離が最短になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

t秒後のA, Bの位置を考える。

XA = t cm、YB = 3t cmとなる。

このとき、AY = XY - XA = 20 - t cm、BZ = YZ - YB = 30 - 3t cmである。

ABの長さをLとすると、三平方の定理より、

$L^2 = AY^2 + YB^2$

$L^2 = (20-t)^2 + (3t)^2$

$L^2 = 400 - 40t + t^2 + 9t^2 = 10t^2 - 40t + 400$

$L^2$を最小にするtを求めるために、平方完成を行う。

$L^2 = 10(t^2 - 4t) + 400$

$L^2 = 10(t^2 - 4t + 4 - 4) + 400$

$L^2 = 10((t-2)^2 - 4) + 400$

$L^2 = 10(t-2)^2 - 40 + 400$

$L^2 = 10(t-2)^2 + 360$

$L^2$が最小になるのは、$t=2$のとき。

このとき、$L^2 = 360$なので、$L = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$

従って、ABの距離が最短になるのは2秒後。

3. 最終的な答え

2秒後