点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ点A, Bと点C, Dで交わらせています。PA = 5, AB = 6, OD = OC = 4 (円の半径)であるとき、PC = xの値を求めよ。

1. 問題の内容

点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ点A, Bと点C, Dで交わらせています。PA = 5, AB = 6, OD = OC = 4 (円の半径)であるとき、PC = xの値を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用します。

方べきの定理とは、円の外部の点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ点A, Bと点C, Dで交わるとき、以下の式が成り立つというものです。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

この問題では、PA = 5, AB = 6, PC = x, OD = OC = 4です。

PBを求めます。PB = PA + AB = 5 + 6 = 11

PDを求めます。PD = PC + CD = x + (CO + OD) = x + (4 + 4) = x + 8

方べきの定理の式に値を代入します。

$5 \cdot 11 = x \cdot (x + 8)$

$55 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 55 = 0$

この2次方程式を解きます。

因数分解すると、

$(x - 5)(x + 11) = 0$

したがって、$x = 5$または$x = -11$となります。

PC = xは長さなので、正の数でなければなりません。したがって、$x = 5$です。

3. 最終的な答え

x = 5