2つの平面 $x+2y+kz-3=0$ と $x+(k+2)y-3z-5=0$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの平面 $x+2y+kz-3=0$ と $x+(k+2)y-3z-5=0$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つの平面が垂直である条件は、それぞれの法線ベクトルの内積が0になることです。

平面 $ax+by+cz+d=0$ の法線ベクトルは $(a, b, c)$ で表されます。

平面 $x+2y+kz-3=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (1, 2, k)$ です。

平面 $x+(k+2)y-3z-5=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (1, k+2, -3)$ です。

2つの平面が垂直であるためには、$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ である必要があります。

つまり、

$$(1)(1) + (2)(k+2) + (k)(-3) = 0$$

これを解きます。

$$1 + 2k + 4 - 3k = 0$$

$$5 - k = 0$$

$$k = 5$$

3. 最終的な答え

$k = 5$