一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上に$OD = 1$となる点D、辺OB上に$OE = \frac{3}{4}$となる点Eをとる。 (1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上に$OD = 1$となる点D、辺OB上に$OE = \frac{3}{4}$となる点Eをとる。

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径について

$\triangle ABC$は一辺の長さが3の正三角形なので、その外接円の半径Rは、正弦定理より

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = 2R$

$R = \frac{3}{2\sin 60^\circ} = \frac{3}{2\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

次に、線分OHの長さを求める。正四面体OABCの高さOHは、点Hが正三角形ABCの重心と一致することから、

$AH = \frac{2}{3}R = \frac{2}{3}\sqrt{3}$

$\triangle OAH$は直角三角形なので、三平方の定理より

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

$3^2 = OH^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2$

$9 = OH^2 + \frac{4\cdot 3}{9} = OH^2 + \frac{4}{3}$

$OH^2 = 9 - \frac{4}{3} = \frac{27-4}{3} = \frac{23}{3}$

$OH = \sqrt{\frac{23}{3}} = \frac{\sqrt{69}}{3}$

(2) 四面体OAEDの体積について

四面体OABCの体積をVとすると、

$V = \frac{1}{3} \times (\triangle ABCの面積) \times OH = \frac{1}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2) \times \frac{\sqrt{69}}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{69}}{3} = \frac{3\sqrt{207}}{12} = \frac{\sqrt{207}}{4} = \frac{3\sqrt{23}}{4}$

四面体OAEDの体積は、四面体OABCの体積Vを元に計算する。

$\frac{OD}{OC} = \frac{1}{3}, \frac{OE}{OB} = \frac{3}{4}$なので、四面体OAEDの体積V'は

$V' = \frac{OD}{OC} \times \frac{OE}{OB} \times \frac{OA}{OA} \times V = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times 1 \times \frac{3\sqrt{23}}{4} = \frac{3\sqrt{23}}{16}$

(3) $\cos \angle AED$の値について

$\triangle OED$において、$OD = 1, OE = \frac{3}{4}, DE = ?$。余弦定理より

$DE^2 = OD^2 + OE^2 - 2OD \cdot OE \cos 60^\circ = 1^2 + (\frac{3}{4})^2 - 2 \times 1 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = 1 + \frac{9}{16} - \frac{3}{4} = \frac{16+9-12}{16} = \frac{13}{16}$

$DE = \frac{\sqrt{13}}{4}$

$\triangle AED$において、$AE = \sqrt{OA^2+OE^2 - 2OA \cdot OE \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3^2+(\frac{3}{4})^2 - 2\cdot 3\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{9 + \frac{9}{16} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{144+9-36}{16}} = \sqrt{\frac{117}{16}} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$AD = \sqrt{OA^2+OD^2 - 2OA \cdot OD \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3^2+1^2 - 2\cdot 3\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{9+1-3} = \sqrt{7}$

$\cos \angle AED = \frac{AE^2 + DE^2 - AD^2}{2AE \cdot DE} = \frac{(\frac{3\sqrt{13}}{4})^2 + (\frac{\sqrt{13}}{4})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot \frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{\frac{9 \cdot 13}{16} + \frac{13}{16} - 7}{2\cdot \frac{3\cdot 13}{16}} = \frac{\frac{117+13-112}{16}}{\frac{78}{16}} = \frac{18}{78} = \frac{3}{13}$

点Oから平面AEDに引いた垂線の長さをhとする。四面体OAEDの体積$V'$は、$\triangle AED$を底面としたときの高さhを用いて

$V' = \frac{1}{3} \times (\triangle AEDの面積) \times h$

$\triangle AED$の面積は、ヘロンの公式より、$s = \frac{\frac{3\sqrt{13}}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4} + \sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{7}}{2}$

$(\triangle AEDの面積)^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{7}}{2} (\frac{-\sqrt{13} + \sqrt{7}}{2}) (\frac{\sqrt{13} - \sqrt{7}}{2}) (\frac{\sqrt{13} + \sqrt{7}}{2})$

$= \frac{(\sqrt{7}^2 - \sqrt{13}^2)}{4} (\frac{13}{4} - \frac{7}{4}) = (\frac{7-13}{4}) (\frac{6}{4}) = \frac{-6}{4} (\frac{3}{2}) < 0$

$\triangle AED$の面積を計算する際に、ヘロンの公式を使うと複雑になるため、体積$V'$を利用する。

$\triangle AED = \frac{1}{2}AE \cdot DE \sin{\angle AED}$

$V' = \frac{1}{3} (\frac{1}{2}AE \cdot DE \sin{\angle AED}) h$

$\sin{\angle AED} = \sqrt{1-\cos^2{\angle AED}} = \sqrt{1-(\frac{3}{13})^2} = \sqrt{1-\frac{9}{169}} = \sqrt{\frac{160}{169}} = \frac{4\sqrt{10}}{13}$

$\triangle AED = \frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{13} = \frac{12\sqrt{130}}{32\cdot 13} = \frac{3\sqrt{10}}{8}$

$V' = \frac{3\sqrt{23}}{16} = \frac{1}{3} (\frac{3\sqrt{10}}{8}) h$

$h = \frac{3\sqrt{23}}{16} \cdot \frac{8}{3} \sqrt{10} = \frac{\sqrt{230}}{10 \cdot 2} = \frac{\sqrt{230}}{2 \cdot \frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{23} \cdot 8}{16\sqrt{10}} = \frac{2h}{1} \frac{\sqrt{230}}{4}$

$h = \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{230}}{20}$

$16$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径: $\sqrt{3}$、線分OHの長さ: $\frac{\sqrt{69}}{3}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{23}}{16}$

(3) $\cos \angle AED$: $\frac{3}{13}$、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さ: $\frac{\sqrt{230}}{20}$