(2) 2点 $(3, 1)$, $(9, -7)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。 (3) 3点 $(5, -1)$, $(4, 6)$, $(1, 7)$ を通る円 $C$ の方程式を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文にある2つの問題についてそれぞれ解説します。

1. 問題の内容

(2) 2点 $(3, 1)$, $(9, -7)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

(3) 3点 $(5, -1)$, $(4, 6)$, $(1, 7)$ を通る円 $C$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)

直径の両端が与えられているので、円の中心と半径を求めます。

中心は2点の中点なので、中心の座標は

$(\frac{3+9}{2}, \frac{1+(-7)}{2}) = (6, -3)$

半径は、中心と端点の距離なので、

$\sqrt{(6-3)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、円の方程式は

$(x-6)^2 + (y+3)^2 = 5^2$

$(x-6)^2 + (y+3)^2 = 25$

展開すると

$x^2 - 12x + 36 + y^2 + 6y + 9 = 25$

$x^2 + y^2 - 12x + 6y + 45 - 25 = 0$

$x^2 + y^2 - 12x + 6y + 20 = 0$

(3)

求める円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおきます。

この円が3点 $(5, -1)$, $(4, 6)$, $(1, 7)$ を通るので、それぞれの方程式に代入して3つの式を得ます。

点 $(5, -1)$ を代入:

$5^2 + (-1)^2 + 5a - b + c = 0$

$25 + 1 + 5a - b + c = 0$

$5a - b + c = -26$ ...(1)

点 $(4, 6)$ を代入:

$4^2 + 6^2 + 4a + 6b + c = 0$

$16 + 36 + 4a + 6b + c = 0$

$4a + 6b + c = -52$ ...(2)

点 $(1, 7)$ を代入:

$1^2 + 7^2 + a + 7b + c = 0$

$1 + 49 + a + 7b + c = 0$

$a + 7b + c = -50$ ...(3)

(2) - (1):

$(4a + 6b + c) - (5a - b + c) = -52 - (-26)$

$-a + 7b = -26$ ...(4)

(3) - (1):

$(a + 7b + c) - (5a - b + c) = -50 - (-26)$

$-4a + 8b = -24$

$-a + 2b = -6$ ...(5)

(4) - (5):

$(-a + 7b) - (-a + 2b) = -26 - (-6)$

$5b = -20$

$b = -4$

(5)に代入:

$-a + 2(-4) = -6$

$-a - 8 = -6$

$-a = 2$

$a = -2$

(1)に代入:

$5(-2) - (-4) + c = -26$

$-10 + 4 + c = -26$

$-6 + c = -26$

$c = -20$

したがって、求める円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

3. 最終的な答え

(2) $x^2 + y^2 - 12x + 6y + 20 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$