点Oを中心とする半径1の円に内接する$\triangle ABC$があり、$\overrightarrow{OA} + \sqrt{3} \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$を満たしている。 (1) 内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$を求める。 (2) $\angle AOB$と$\angle AOC$を求める。 (3) $\triangle ABC$の面積を求める。 (4) 辺BCの長さと、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さを求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に内接する$\triangle ABC$があり、$\overrightarrow{OA} + \sqrt{3} \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$を満たしている。

(1) 内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$を求める。

(2) $\angle AOB$と$\angle AOC$を求める。

(3) $\triangle ABC$の面積を求める。

(4) 辺BCの長さと、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$を求める。

$\overrightarrow{OA} + \sqrt{3} \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$より、

$2\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} - \sqrt{3} \overrightarrow{OB}$

両辺の絶対値を2乗すると、

$4|\overrightarrow{OC}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\sqrt{3}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 3|\overrightarrow{OB}|^2$

$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$なので、

$4 = 1 + 2\sqrt{3}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 3$

$2\sqrt{3}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

同様に、$\sqrt{3}\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OC}$

両辺の絶対値を2乗すると、

$3|\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + 4|\overrightarrow{OC}|^2$

$3 = 1 + 4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + 4$

$4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -2$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -\frac{1}{2}$

(2) $\angle AOB$と$\angle AOC$を求める。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos \angle AOB = 0$

$1 \cdot 1 \cdot \cos \angle AOB = 0$

$\cos \angle AOB = 0$

$\angle AOB = \frac{\pi}{2}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos \angle AOC = -\frac{1}{2}$

$1 \cdot 1 \cdot \cos \angle AOC = -\frac{1}{2}$

$\cos \angle AOC = -\frac{1}{2}$

$\angle AOC = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\triangle ABC$の面積を求める。

$\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{OA} - \frac{2}{\sqrt{3}}\overrightarrow{OC}$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$

$\triangle OAC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \sin \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\angle BOC = |\angle AOC - \angle AOB| = |\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{6}$

$\triangle OBC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OB}| |\overrightarrow{OC}| \sin \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\triangle ABC = \triangle OAB + \triangle OAC + \triangle OBC = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$

(4) 辺BCの長さと、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さを求める。

$BC^2 = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 - 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2$

$BC^2 = 1^2 - 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} + 1^2 = 2 - 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OB}$より、

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} = (-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - \frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{OB}|^2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 2 - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 + \sqrt{3}$

$BC = \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} BC \cdot h$

$h = \frac{2 \cdot \triangle ABC}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -\frac{1}{2}$

(2) $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$, $\angle AOC = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\triangle ABC = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$

(4) $BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$, 垂線の長さ $h = \frac{\sqrt{6}}{2}$