点 A(-3, 0) からの距離と点 B(2, 0) からの距離の比が 3:2 である点 P の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点 A(-3, 0) からの距離と点 B(2, 0) からの距離の比が 3:2 である点 P の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点 P の座標を $(x, y)$ とします。

点 A(-3, 0) から点 P(x, y) までの距離 PA は、

$PA = \sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}$

点 B(2, 0) から点 P(x, y) までの距離 PB は、

$PB = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

問題文より、PA:PB = 3:2 なので、

$PA = \frac{3}{2}PB$

$\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = \frac{3}{2}\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(x + 3)^2 + y^2 = \frac{9}{4}((x - 2)^2 + y^2)$

両辺に 4 を掛けて、

$4((x + 3)^2 + y^2) = 9((x - 2)^2 + y^2)$

$4(x^2 + 6x + 9 + y^2) = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$4x^2 + 24x + 36 + 4y^2 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2$

$0 = 5x^2 - 60x + 5y^2$

両辺を 5 で割って、

$x^2 - 12x + y^2 = 0$

$(x^2 - 12x + 36) + y^2 = 36$

$(x - 6)^2 + y^2 = 6^2$

これは、中心が (6, 0) で半径が 6 の円を表します。

3. 最終的な答え

中心が (6, 0) で半径が 6 の円

$(x - 6)^2 + y^2 = 36$