三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、角xの大きさを求める。角Aは25度、角Cは35度である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、角xの大きさを求める。角Aは25度、角Cは35度である。

2. 解き方の手順

点Oは三角形ABCの外心なので、OA=OB=OCである。

三角形OAB, OBC, OCAはそれぞれ二等辺三角形である。

三角形OABにおいて、OA=OBなので、角OAB=角OBAとなる。角OAB=25度なので、角OBAも25度である。

三角形OBCにおいて、OB=OCなので、角OBC=角OCBとなる。

三角形OCAにおいて、OA=OCなので、角OAC=角OCAとなる。角OCA=35度なので、角OACも35度である。

三角形の内角の和は180度なので、

角A + 角B + 角C = 180度

$25 + 35 + x + \angle{OCB} = 180$

角B = 角OBA + 角OBC = $x$ となる。

角A = 角OAB + 角OAC = 25 + 35 = 60度

角C = 角OCA + 角OCB = 35 + 角OCB

三角形の内角の和は180度なので、

$25 + x + 35 + \angle{OCB}= 180$

三角形の内角の和は180度なので、

$60 + x + 35 + \angle{OCB} = 180$

$x + \angle{OCB}= 180 - 60 - 35 = 85$

三角形OCAにおいて、OA=OCなので、角OAC=角OCA=35度である。

三角形OABにおいて、OA=OBなので、角OAB=角OBA=25度である。

三角形ABCにおいて、角A=25+35=60度、角C=35+角OCBなので、角B=180-60-(35+角OCB)=85-角OCBとなる。

これは角B=xなので、x=85-角OCBとなる。角OCB=角OBCなので、x=85-角OBCとなる。

角OBA=25度なので、角ABC=x=25+角OBC=25+角OCBとなる。

x=25+角OCB、x=85-角OCBなので、2x=110となり、x=55度となる。

別の解き方として、外心は各頂点からの距離が等しい点なので、OA=OB=OCとなる。

角A=25度、角C=35度である。角OAB=25度、角OCA=35度となる。

角OBA=角OAB=25度、角OCB=角OBCとなる。

また、角OAC=角OCA=35度となる。

角BAC=25+35=60度となる。

角ACB=35+角OCBとなる。

角ABC=角OBA+角OBC=25+角OBCとなる。

三角形の内角の和は180度なので、60 + 35+角OCB + 25+角OBC =180度となる。

角OCB=角OBCなので、60+35+角OCB+25+角OCB=180度となる。

120 + 2*角OCB = 180度

2*角OCB=60度

角OCB=30度

角ABC=25+30=55度

したがって、x=55度となる。

3. 最終的な答え

55