3点A(2,-1,4), B(1,3,0), C(3,1,2)を頂点とする三角形ABCの重心の座標を、原点Oに関する位置ベクトルを利用して求める。

1. 問題の内容

3点A(2,-1,4), B(1,3,0), C(3,1,2)を頂点とする三角形ABCの重心の座標を、原点Oに関する位置ベクトルを利用して求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{OG}$は、各頂点の位置ベクトルの和を3で割ったものとして求められます。

すなわち、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

ここで、

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$,

$\vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$,

$\vec{OC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

であるから、

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right)$

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2+1+3 \\ -1+3+1 \\ 4+0+2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

したがって、重心Gの座標は(2,1,2)となります。

3. 最終的な答え

(2, 1, 2)