3点A(2, 3), B(-4, 9), C(1, 7)があるとき、以下の問いに答える。 (1) この3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。 (2) 三角形OACの面積を求めよ。ただし、Oは原点(0, 0)とする。 (3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積を求めよ。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

**問5.8**

1. 問題の内容

3点A(2, 3), B(-4, 9), C(1, 7)があるとき、以下の問いに答える。

(1) この3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。

(2) 三角形OACの面積を求めよ。ただし、Oは原点(0, 0)とする。

(3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点を頂点とする三角形の面積は、ベクトルを用いて求めることができる。ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求め、それらの外積の絶対値の半分が三角形の面積となる。

$\overrightarrow{AB} = (-4 - 2, 9 - 3) = (-6, 6)$

$\overrightarrow{AC} = (1 - 2, 7 - 3) = (-1, 4)$

三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |(-6) \times 4 - 6 \times (-1)| = \frac{1}{2} |-24 + 6| = \frac{1}{2} |-18| = 9$

(2) 三角形OACの面積も同様にベクトルを用いて求める。$\overrightarrow{OA} = (2, 3)$, $\overrightarrow{OC} = (1, 7)$

三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |2 \times 7 - 3 \times 1| = \frac{1}{2} |14 - 3| = \frac{1}{2} |11| = \frac{11}{2}$

(3) OA, OBを辺にもつ平行四辺形の面積は、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の外積の絶対値で求められる。$\overrightarrow{OA} = (2, 3)$, $\overrightarrow{OB} = (-4, 9)$

平行四辺形の面積Sは、

$S = |2 \times 9 - 3 \times (-4)| = |18 + 12| = |30| = 30$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) $\frac{11}{2}$

(3) 30

**問5.9**

1. 問題の内容

平面上で、次の3直線が1点で交わるようにaの値を定める。

(1) $y = x + 2$, $y = -2x + a$, $y = 3x - 2$

(2) $y = ax - 3$, $y = 2x - 1$, $y = -2x + 3$

2. 解き方の手順

(1) 3直線が1点で交わる条件は、まず2つの直線の交点を求め、その交点が残りの直線も通るようにaの値を定める。

$y = x + 2$と$y = 3x - 2$の交点を求める。

$x + 2 = 3x - 2$

$2x = 4$

$x = 2$

$y = 2 + 2 = 4$

交点は(2, 4)。

これが$y = -2x + a$も通るので、

$4 = -2 \times 2 + a$

$4 = -4 + a$

$a = 8$

(2) $y = 2x - 1$と$y = -2x + 3$の交点を求める。

$2x - 1 = -2x + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = 2 \times 1 - 1 = 1$

交点は(1, 1)。

これが$y = ax - 3$も通るので、

$1 = a \times 1 - 3$

$1 = a - 3$

$a = 4$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 4

**問5.10**

1. 問題の内容

空間$R^3$内で、次の平面の式を求める。

(1) 3点A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)を通る平面

(2) 3点O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)を通る平面

2. 解き方の手順

(1) 平面の方程式は$ax + by + cz + d = 0$と表せる。3点の座標を代入して連立方程式を解く。もしくは、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求め、それらの外積を法線ベクトルとする。

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1, -2 - 4, 0 - 2) = (2, -6, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (2 - 1, 1 - 4, 3 - 2) = (1, -3, 1)$

法線ベクトル$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-6)(1) - (-2)(-3), (-2)(1) - (2)(1), (2)(-3) - (-6)(1)) = (-6 - 6, -2 - 2, -6 + 6) = (-12, -4, 0)$

簡略化して $\vec{n} = (3, 1, 0)$としてもよい。

よって、平面の方程式は$3x + y + d = 0$となる。点A(1, 4, 2)を通るので、

$3 \times 1 + 4 + d = 0$

$7 + d = 0$

$d = -7$

したがって、平面の方程式は$3x + y - 7 = 0$

(2) 原点を通るので、平面の方程式は$ax + by + cz = 0$と表せる。点A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)を通るので、

$a + 2b + 3c = 0$

$-2a + b - c = 0$

これを解く。2つ目の式を2倍して1つ目の式に足す。

$5b + c = 0$

$c = -5b$

$-2a + b - (-5b) = 0$

$-2a + 6b = 0$

$a = 3b$

よって、平面の方程式は$3bx + by - 5bz = 0$

$b$で割って$3x + y - 5z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y - 7 = 0$

(2) $3x + y - 5z = 0$