左側の問題は、与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 = 25$ と $y = x + 1$ (2) $x^2 + y^2 = 8$ と $x + y = 4$ 右側の問題は、円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ に関する問題です。 (1) 円と直線が共有点をもつときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 円と直線が接するときの、定数 $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

左側の問題は、与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2 = 25$ と $y = x + 1$

(2) $x^2 + y^2 = 8$ と $x + y = 4$

右側の問題は、円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ に関する問題です。

(1) 円と直線が共有点をもつときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 円と直線が接するときの、定数 $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

**左側の問題**

(1) $x^2 + y^2 = 25$ と $y = x + 1$ の共有点を求める。

$y = x + 1$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入する。

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

$x = -4$ のとき $y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき $y = 3 + 1 = 4$

よって、共有点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$

(2) $x^2 + y^2 = 8$ と $x + y = 4$ の共有点を求める。

$y = 4 - x$ を $x^2 + y^2 = 8$ に代入する。

$x^2 + (4 - x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ のとき $y = 4 - 2 = 2$

よって、共有点の座標は $(2, 2)$

**右側の問題**

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が共有点をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

$y = 2x + m$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入する。

$x^2 + (2x + m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + m^2 - 5 = 0$

この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (4m)^2 - 4(5)(m^2 - 5) = 16m^2 - 20m^2 + 100 = -4m^2 + 100$

$-4m^2 + 100 \ge 0$

$4m^2 \le 100$

$m^2 \le 25$

$-5 \le m \le 5$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める。

円と直線が接するということは、(1) の2次方程式が重解を持つことと同値である。

したがって、$D = 0$ となる。

$-4m^2 + 100 = 0$

$4m^2 = 100$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

3. 最終的な答え

**左側の問題**

(1) 共有点の座標: $(-4, -3)$, $(3, 4)$

(2) 共有点の座標: $(2, 2)$

**右側の問題**

(1) $m$ の値の範囲: $-5 \le m \le 5$

(2) $m$ の値: $m = 5$, $m = -5$