直線 $l$ は関数 $y=ax$ のグラフで、点A(3,6)を通る。直線 $m$ は点A(3,6)と点B(0,9)を通る直線である。直線 $m$ とx軸との交点をCとする。また、座標が(-1,2)となる点Dと、直線 $m$ 上に点Pをとるとき、以下の問いに答えよ。ただし、座標軸の1目盛りを1cmとし、円周率は$\pi$とする。 (1) $a$の値を求めよ。 (2) 直線 $m$ の式を求めよ。 (3) $\triangle AOC$ をx軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。 (4) $\triangle AOD = \triangle AOP$ となるときの点Pの座標をすべて求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

直線 $l$ は関数 $y=ax$ のグラフで、点A(3,6)を通る。直線 $m$ は点A(3,6)と点B(0,9)を通る直線である。直線 $m$ とx軸との交点をCとする。また、座標が(-1,2)となる点Dと、直線 $m$ 上に点Pをとるとき、以下の問いに答えよ。ただし、座標軸の1目盛りを1cmとし、円周率は$\pi$とする。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) 直線 $m$ の式を求めよ。

(3) $\triangle AOC$ をx軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。

(4) $\triangle AOD = \triangle AOP$ となるときの点Pの座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A(3,6)が直線 $y=ax$ 上にあるので、$x=3$, $y=6$を代入して$a$の値を求める。

$6 = a \cdot 3$

$a = 2$

(2) 直線 $m$ は点A(3,6)と点B(0,9)を通る。傾きを$k$とおくと、

$k = \frac{9-6}{0-3} = \frac{3}{-3} = -1$

よって、直線 $m$ の式は $y = -x + b$ と表せる。

点B(0,9)を通るので、$9 = -0 + b$ より、$b = 9$。

したがって、直線 $m$ の式は $y = -x + 9$ となる。

(3) 直線 $m$ の式は $y = -x + 9$ であった。直線 $m$ とx軸との交点Cは、$y=0$を代入して、

$0 = -x + 9$

$x = 9$

よって、C(9,0)となる。

$\triangle AOC$ をx軸を軸として1回転させたときにできる立体は、底面の半径がAのy座標6、高さがOCの長さ9の円錐である。円錐の体積は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2) (9) = \frac{1}{3} \pi (36)(9) = 108 \pi$

(4) $\triangle AOD = \triangle AOP$ となる点Pの座標を求める。

点D(-1, 2)なので、$\triangle AOD$ の面積は、底辺をODとすると、ODの長さは$\sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。高さを点Aから直線ODに下ろした垂線の長さとすると、求めにくいので、原点と点Dを結ぶ直線の式を$y = -2x$とすると、点A(3, 6)から$2x + y = 0$までの距離は、

$\frac{|2(3) + 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$

よって、$\triangle AOD = \frac{1}{2} \cdot OD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{12}{\sqrt{5}} = 6$

点Pは直線 $y = -x + 9$ 上の点なので、P($t, -t+9$)とおける。

$\triangle AOP = \frac{1}{2}|3(-t+9) - 6t| = \frac{1}{2}|-9t+27| = \frac{9}{2}|-t+3|$

$\triangle AOD = \triangle AOP$ なので、$6 = \frac{9}{2}|-t+3|$

$12 = 9|-t+3|$

$\frac{4}{3} = |-t+3|$

$-t+3 = \frac{4}{3}$ または $-t+3 = -\frac{4}{3}$

$t = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ または $t = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$

$t = \frac{5}{3}$のとき、P($\frac{5}{3}, -\frac{5}{3} + 9$) = ($\frac{5}{3}, \frac{22}{3}$)

$t = \frac{13}{3}$のとき、P($\frac{13}{3}, -\frac{13}{3} + 9$) = ($\frac{13}{3}, \frac{14}{3}$)

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $y = -x + 9$

(3) $108 \pi \text{ cm}^3$

(4) $\text{P}(\frac{5}{3}, \frac{22}{3}), (\frac{13}{3}, \frac{14}{3})$