正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作る。 (ア) できる三角形の総数を求める。 (イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。 (ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

1. 問題の内容

正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作る。

(ア) できる三角形の総数を求める。

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 正十角形の頂点から3つを選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_3$を計算します。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

正十角形の辺は10個あります。1つの辺を選んだとき、残りの1つの頂点は、その辺の両隣の頂点以外から選ぶ必要があります。

したがって、1つの辺に対して選べる頂点は10 - 4 = 6個です。

したがって、10個の辺それぞれに対して6個の頂点を選ぶことができるので、10 * 6 = 60個の三角形が存在します。

(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

三角形の総数から1辺を共有する三角形の数と2辺を共有する三角形の数を引けば良い。2辺を共有する三角形は正十角形の各頂点に対して1つずつ存在するので10個である。

したがって、辺を共有しない三角形の個数は、

120 - 60 - 10 = 50個となります。

3. 最終的な答え

(ア) 120個

(イ) 60個

(ウ) 50個