三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分EGの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分EGの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、点Eは辺ABを3等分するので、$AE = \frac{2}{3}AB$。同様に、点Gは辺ACを4等分するので、$AG = \frac{2}{4}AC = \frac{1}{2}AC$。

よって、$AE = \frac{2}{3} \times 15 = 10$cm、$AG = \frac{1}{2} \times 12 = 6$cm。

三角形AEGにおいて、余弦定理を用いることを考える。そのためには角Aの余弦が必要になる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$。

また、問題文にはBCの長さが書かれていない。

ここで、三角形AEGと三角形ABCは角Aを共有しているので、相似比を考える。

$AE = 10$cm, $AB = 15$cm, $AG = 6$cm, $AC = 12$cm。

$\frac{AE}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

$\frac{AG}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

この比が異なるので、三角形AEGと三角形ABCは相似ではない。

次に、三角形AEGで余弦定理を適用すると、

$EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2AE \cdot AG \cdot \cos A$

$EG^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos A$

$EG^2 = 100 + 36 - 120 \cos A$

$EG^2 = 136 - 120 \cos A$

問題文に線分BH = 12cmという条件があるので、これを利用することを考える。

三角形ABCで角Aの大きさがわかれば計算できる。

図から予想すると、三角形ABCは直角三角形ではなさそう。

解法としては、点Eと点Gの座標を置いてベクトルを計算する方法も考えられるが、ここでは別の方法を試す。

メネラウスの定理を適用することを考える。

最終的に求めるのはEGの長さなので、三角形AEGで余弦定理を使う方針は間違っていない。

しかし、角Aのcosの値が不明なので、ここを求める必要がある。

ここで問題文をよく読むと、「BH=12cmのとき」と書いてある。BHの長さは与えられている。

よって、三角形ABHに着目する。AH = 9cmなので、

$BH^2 = AB^2 + AH^2 - 2AB \cdot AH \cdot \cos A$

$12^2 = 15^2 + 9^2 - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos A$

$144 = 225 + 81 - 270 \cos A$

$144 = 306 - 270 \cos A$

$270 \cos A = 306 - 144$

$270 \cos A = 162$

$\cos A = \frac{162}{270} = \frac{81}{135} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

これを$EG^2 = 136 - 120 \cos A$に代入すると、

$EG^2 = 136 - 120 \times \frac{3}{5}$

$EG^2 = 136 - 24 \times 3$

$EG^2 = 136 - 72$

$EG^2 = 64$

$EG = 8$

3. 最終的な答え

8cm