点A(3, -1)を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と、平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(3, -1)を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と、平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求める。

$2y = -3x - 1$ より、$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ となるから、この直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

(1) 垂直な直線の場合：

垂直な直線の傾きを $m_1$ とすると、$m_1 \cdot (-\frac{3}{2}) = -1$ が成り立つ。

よって、$m_1 = \frac{2}{3}$。

点A(3, -1)を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

$3y = 2x - 9$

$2x - 3y - 9 = 0$

(2) 平行な直線の場合：

平行な直線の傾きを $m_2$ とすると、$m_2 = -\frac{3}{2}$。

点A(3, -1)を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

$2y = -3x + 7$

$3x + 2y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

垂直な直線の方程式：$2x - 3y - 9 = 0$

平行な直線の方程式：$3x + 2y - 7 = 0$