$xy$ 平面上に3点 $O(0, 0)$, $A(-1, -2)$, $B(1, -2)$ がある。線分 $OA$ を $(1-\alpha) : \alpha$ の比に分ける点を $P$, 線分 $OB$ を $\alpha : (1-\alpha)$ の比に分ける点を $Q$ とする。さらに、線分 $PQ$ を $\beta : (1-\beta)$ の比に分ける点を $R(x, y)$ とする。 (1) $x, y$ を $\alpha, \beta$ を用いてそれぞれ表せ。 (2) 実数 $\alpha, \beta$ が $0 \le \alpha \le 1$, $0 \le \beta \le 1$ を動くとき、点 $R$ の存在する範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に3点 $O(0, 0)$, $A(-1, -2)$, $B(1, -2)$ がある。線分 $OA$ を $(1-\alpha) : \alpha$ の比に分ける点を $P$, 線分 $OB$ を $\alpha : (1-\alpha)$ の比に分ける点を $Q$ とする。さらに、線分 $PQ$ を $\beta : (1-\beta)$ の比に分ける点を $R(x, y)$ とする。

(1) $x, y$ を $\alpha, \beta$ を用いてそれぞれ表せ。

(2) 実数 $\alpha, \beta$ が $0 \le \alpha \le 1$, $0 \le \beta \le 1$ を動くとき、点 $R$ の存在する範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $P$ の座標を求める。点 $P$ は線分 $OA$ を $(1-\alpha) : \alpha$ に内分する点なので、

$$\overrightarrow{OP} = (1 - \alpha) \overrightarrow{OO} + \alpha \overrightarrow{OA} = \alpha \overrightarrow{OA} = \alpha (-1, -2) = (-\alpha, -2\alpha)$$

よって、点 $P$ の座標は $(-\alpha, -2\alpha)$ である。

次に、点 $Q$ の座標を求める。点 $Q$ は線分 $OB$ を $\alpha : (1-\alpha)$ に内分する点なので、

$$\overrightarrow{OQ} = (1 - \alpha) \overrightarrow{OB} + \alpha \overrightarrow{OO} = (1 - \alpha) \overrightarrow{OB} = (1 - \alpha) (1, -2) = (1-\alpha, -2(1-\alpha))$$

よって、点 $Q$ の座標は $(1-\alpha, -2(1-\alpha))$ である。

最後に、点 $R$ の座標を求める。点 $R$ は線分 $PQ$ を $\beta : (1-\beta)$ に内分する点なので、

$$\overrightarrow{OR} = (1 - \beta) \overrightarrow{OP} + \beta \overrightarrow{OQ} = (1 - \beta) (-\alpha, -2\alpha) + \beta (1-\alpha, -2(1-\alpha))$$

$$= (-(1 - \beta) \alpha + \beta(1-\alpha), -2(1 - \beta)\alpha - 2\beta(1-\alpha))$$

$$= (-\alpha + \alpha\beta + \beta - \alpha\beta, -2\alpha + 2\alpha\beta - 2\beta + 2\alpha\beta)$$

$$= (-\alpha + \beta, -2\alpha - 2\beta + 4\alpha\beta)$$

よって、点 $R$ の座標は $(-\alpha + \beta, -2\alpha - 2\beta + 4\alpha\beta)$ である。

したがって、$x = -\alpha + \beta$, $y = -2\alpha - 2\beta + 4\alpha\beta$

(2)

$x = -\alpha + \beta$ より、$\beta = x + \alpha$ である。これを $y = -2\alpha - 2\beta + 4\alpha\beta$ に代入すると、

$y = -2\alpha - 2(x+\alpha) + 4\alpha(x+\alpha)$

$y = -2\alpha - 2x - 2\alpha + 4\alpha x + 4\alpha^2$

$y = -4\alpha + 4\alpha x + 4\alpha^2 - 2x$

$4\alpha^2 + (4x - 4)\alpha - (y + 2x) = 0$

$\alpha$ は実数なので、判別式 $D \ge 0$

$D = (4x - 4)^2 - 4(4)(-(y + 2x)) = 16(x - 1)^2 + 16(y + 2x) = 16(x^2 - 2x + 1 + y + 2x) = 16(x^2 + y + 1) \ge 0$

よって、$x^2 + y + 1 \ge 0$ すなわち $y \ge -x^2 - 1$

また、$0 \le \alpha \le 1$ である必要があるので、$f(\alpha) = 4\alpha^2 + (4x - 4)\alpha - (y + 2x) = 0$ とすると、

$f(0) = -(y + 2x) \le 0$ より $y \ge -2x$

$f(1) = 4 + 4x - 4 - y - 2x = 2x - y \le 0$ より $y \ge 2x$

$\alpha = \frac{- (4x - 4) \pm \sqrt{(4x - 4)^2 - 4(4)(-(y + 2x))}}{8} = \frac{4 - 4x \pm \sqrt{16(x^2 + y + 1)}}{8} = \frac{1 - x \pm \sqrt{x^2 + y + 1}}{2}$

$0 \le \frac{1 - x \pm \sqrt{x^2 + y + 1}}{2} \le 1$ より

$0 \le 1 - x \pm \sqrt{x^2 + y + 1} \le 2$

$-1 + x \le \pm \sqrt{x^2 + y + 1} \le 1 + x$

$y = -2$ のとき $4\alpha^2 + (4x - 4)\alpha - (-2 + 2x) = 0$

$2\alpha^2 + (2x - 2)\alpha - (x - 1) = 0$

$2\alpha^2 + 2(x - 1)\alpha - (x - 1) = 0$

$\alpha = \frac{-2(x - 1) \pm \sqrt{4(x - 1)^2 + 8(x - 1)}}{4} = \frac{-2(x - 1) \pm \sqrt{4(x - 1)(x - 1 + 2)}}{4} = \frac{-(x - 1) \pm \sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{2} = \frac{-(x - 1) \pm \sqrt{x^2 - 1}}{2}$

$x^2 \ge 1$ より、$x \ge 1$ または $x \le -1$

点 $R$ の存在する範囲は、放物線 $y = -x^2 - 1$ と直線 $y = 2x, y = -2x$ で囲まれた領域となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\alpha + \beta$, $y = -2\alpha - 2\beta + 4\alpha\beta$

(2) 領域：$y \ge -x^2-1$, $y \ge 2x$, $y \ge -2x$, $0 \le x \le 1$, $-1 \le x \le 0$ を満たす領域（放物線 $y = -x^2 - 1$ と直線 $y = 2x, y = -2x$ で囲まれた領域）。