四角形ABCDに対して、以下の問いに答える問題です。 (1) $\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} + \vec{DP} = \vec{0}$となる点Pについて、$\vec{AP}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$を用いて表す。 (2) 線分ACと線分BDが交わり、その交点が(1)の点Pと一致するとき、四角形ABCDの形状を理由をつけて述べる。

1. 問題の内容

四角形ABCDに対して、以下の問いに答える問題です。

(1) $\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} + \vec{DP} = \vec{0}$となる点Pについて、$\vec{AP}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

(2) 線分ACと線分BDが交わり、その交点が(1)の点Pと一致するとき、四角形ABCDの形状を理由をつけて述べる。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} + \vec{DP} = \vec{0}$を変形します。始点をAに揃えるために、ベクトルを分解します。

$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$

$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$

$\vec{DP} = \vec{AP} - \vec{AD}$

これらを$\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} + \vec{DP} = \vec{0}$に代入すると、

$\vec{AP} + (\vec{AP} - \vec{AB}) + (\vec{AP} - \vec{AC}) + (\vec{AP} - \vec{AD}) = \vec{0}$

$4\vec{AP} - \vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD} = \vec{0}$

$4\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}$

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{AD}$

(2) 点Pは線分ACと線分BDの交点なので、$\vec{AP}$は$\vec{AC}$のスカラー倍で表され、$\vec{BP}$は$\vec{BD}$のスカラー倍で表されます。

$\vec{AP} = s\vec{AC}$

$\vec{BP} = t\vec{BD}$ （s, tは実数）

(1)より$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{AD}$です。この式を変形して$\vec{AP}$を$\vec{AC}$と$\vec{BD}$で表すことを目指します。

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$なので、$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$を代入すると、

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{BD})$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{BD}$

$\vec{AP} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{BD}$

$\vec{PA} + \frac{1}{4}\vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{DB}$

$-\vec{AP} - \frac{1}{4}\vec{AC} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{BD}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{BD} - \frac{1}{4}\vec{AC}$

したがって、

$s\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{BD} - \frac{1}{4}\vec{AC}$

$(s + \frac{1}{4})\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{BD}$

ここで、$\vec{AC}$と$\vec{AB}$と$\vec{BD}$は一次独立なので、

$\frac{1}{2} = 0$

これは矛盾するので、$\vec{AB}$と$\vec{DC}$が平行で長さが等しい必要があります。つまり、$\vec{AB} = \vec{DC}$.

よって、四角形ABCDは平行四辺形。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{AD}$

(2) 平行四辺形