平面上に $n$ 個の円がある。どの2つの円も異なる2点で交わり、どの3つの円も1点で交わらないとき、これらの $n$ 個の円が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとする。$a_n$ を $n$ の式で表しなさい。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 個の円がある。どの2つの円も異なる2点で交わり、どの3つの円も1点で交わらないとき、これらの $n$ 個の円が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとする。$a_n$ を $n$ の式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$n$ が小さい場合の $a_n$ を計算する。

$n=1$ のとき、円は1つなので、平面は2つの部分に分けられる。よって、$a_1=2$。

$n=2$ のとき、円は2つなので、平面は4つの部分に分けられる。よって、$a_2=4$。

$n=3$ のとき、円は3つなので、平面は8つの部分に分けられる。よって、$a_3=8$。

しかし、$n=4$のとき、円は4つなので、平面は14個の部分に分けられる。よって、$a_4=14$。

$n$ 番目の円を追加するとき、$n-1$ 個の円それぞれと2点で交わる。したがって、$2(n-1)$ 個の交点が存在する。

これらの交点は、$n$ 番目の円を $2(n-1)$ 個の弧に分割する。

それぞれの弧は、平面を1つずつ追加で分割する。

したがって、$a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$ という漸化式が成り立つ。

$a_1 = 2$

$a_2 = a_1 + 2(2-1) = 2 + 2 = 4$

$a_3 = a_2 + 2(3-1) = 4 + 4 = 8$

$a_4 = a_3 + 2(4-1) = 8 + 6 = 14$

漸化式 $a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$ を解く。

$a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$

$= a_{n-2} + 2(n-2) + 2(n-1)$

$= a_{n-3} + 2(n-3) + 2(n-2) + 2(n-1)$

$= a_1 + 2(1) + 2(2) + \cdots + 2(n-1)$

$= 2 + 2(1+2+\cdots+(n-1))$

$= 2 + 2\frac{(n-1)n}{2}$

$= 2 + n(n-1)$

$= 2 + n^2 - n$

$= n^2 - n + 2$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 2$