## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

1. 中心の極座標が$(4, 0)$で、極Oを通る円の極方程式を求めよ。

2. 極Oを通り、始線とのなす角が$\frac{\pi}{3}$である直線の極方程式を求めよ。

3. 極座標が$(3, \frac{\pi}{6})$である点Aを通り、OAに垂直な直線の極方程式を求めよ。

4. 次の極方程式が表す図形を答えよ。

1. $r = 8$

2. $\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. $r\sin\theta = 2$

4. $r = 5\cos\theta$

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2. 解き方の手順

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1. 円の極方程式**

中心の極座標が$(a, 0)$で、極Oを通る円の極方程式は、$r = 2a\cos\theta$で表される。

したがって、中心の極座標が$(4, 0)$で、極Oを通る円の極方程式は、$r = 2 \times 4 \cos\theta$となる。

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2. 直線の極方程式**

極Oを通り、始線とのなす角が$\alpha$である直線の極方程式は、$\theta = \alpha$で表される。

したがって、極Oを通り、始線とのなす角が$\frac{\pi}{3}$である直線の極方程式は、$\theta = \frac{\pi}{3}$となる。

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3. 直線の方程式**

点$A(r_1, \theta_1)$を通り、線分OAに垂直な直線の極方程式は、$r\cos(\theta - \theta_1) = r_1$で表される。

したがって、極座標が$(3, \frac{\pi}{6})$である点Aを通り、OAに垂直な直線の極方程式は、$r\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 3$となる。

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4. 極方程式が表す図形**

1. $r = 8$: 極Oを中心とする半径8の円

2. $\theta = \frac{2}{3}\pi$: 極Oを通り、始線とのなす角が$\frac{2}{3}\pi$である直線

3. $r\sin\theta = 2$: これは直交座標系で$y = 2$を表すので、$y=2$の直線

4. $r = 5\cos\theta$: 両辺に$r$を掛けると$r^2 = 5r\cos\theta$。直交座標系では$x^2 + y^2 = 5x$となり、$x^2 - 5x + y^2 = 0$。平方完成すると$(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = (\frac{5}{2})^2$。これは中心が$(\frac{5}{2}, 0)$、半径が$\frac{5}{2}$の円。

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3. 最終的な答え

1. $r = 8\cos\theta$

2. $\theta = \frac{\pi}{3}$

3. $r\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 3$

4.

1. 極Oを中心とする半径8の円

2. 極Oを通り、始線とのなす角が$\frac{2}{3}\pi$である直線

3. $y=2$の直線

4. 中心が$(\frac{5}{2}, 0)$、半径が$\frac{5}{2}$の円