点 A (2, 1) から円 $x^2 + y^2 = 1$ に引いた接線の方程式を求めます。

幾何学接線円の方程式点と直線の距離交点
2025/7/18
## 問題 3

1. 問題の内容

点 A (2, 1) から円 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 に引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

接線の方程式を y=m(x2)+1y = m(x - 2) + 1 とおきます。これは点 (2, 1) を通る傾き mm の直線を表します。
これを整理すると y=mx2m+1y = mx - 2m + 1 となり、mxy2m+1=0mx - y - 2m + 1 = 0 と書けます。
この直線が円 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 に接するためには、円の中心 (0, 0) と直線との距離が円の半径 1 に等しくなければなりません。
点と直線の距離の公式を使うと、
m(0)(0)2m+1m2+(1)2=1\frac{|m(0) - (0) - 2m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1
2m+1=m2+1| - 2m + 1 | = \sqrt{m^2 + 1}
両辺を2乗すると、
(2m+1)2=m2+1(-2m + 1)^2 = m^2 + 1
4m24m+1=m2+14m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1
3m24m=03m^2 - 4m = 0
m(3m4)=0m(3m - 4) = 0
よって、m=0m = 0 または m=43m = \frac{4}{3}
m=0m = 0 のとき、接線の方程式は y=0(x2)+1y = 0(x - 2) + 1、つまり y=1y = 1
m=43m = \frac{4}{3} のとき、接線の方程式は y=43(x2)+1y = \frac{4}{3}(x - 2) + 1
y=43x83+1y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1
y=43x53y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}
3y=4x53y = 4x - 5
4x3y5=04x - 3y - 5 = 0

3. 最終的な答え

y=1y = 1 または 4x3y5=04x - 3y - 5 = 0
## 問題 4

1. 問題の内容

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 と直線 x2y+1=0x - 2y + 1 = 0 の交点 A, B と点 (-4, 8) を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

2つの図形 f(x,y)=0f(x, y) = 0g(x,y)=0g(x, y) = 0 の交点を通る図形の方程式は、f(x,y)+kg(x,y)=0f(x, y) + k g(x, y) = 0 (kは定数)の形で表すことができます。
今回は円と直線の交点を通る円を求めるので、求める円の方程式を
x2+y24+k(x2y+1)=0x^2 + y^2 - 4 + k(x - 2y + 1) = 0 とおきます。
この円が点 (-4, 8) を通るので、x = -4, y = 8 を代入すると、
(4)2+(8)24+k(42(8)+1)=0(-4)^2 + (8)^2 - 4 + k(-4 - 2(8) + 1) = 0
16+644+k(416+1)=016 + 64 - 4 + k(-4 - 16 + 1) = 0
76+k(19)=076 + k(-19) = 0
19k=7619k = 76
k=4k = 4
これを x2+y24+k(x2y+1)=0x^2 + y^2 - 4 + k(x - 2y + 1) = 0 に代入すると、
x2+y24+4(x2y+1)=0x^2 + y^2 - 4 + 4(x - 2y + 1) = 0
x2+y24+4x8y+4=0x^2 + y^2 - 4 + 4x - 8y + 4 = 0
x2+y2+4x8y=0x^2 + y^2 + 4x - 8y = 0

3. 最終的な答え

x2+y2+4x8y=0x^2 + y^2 + 4x - 8y = 0

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