問題3は、半径5cm、高さ12cmの円錐形の容器に水がいっぱいに入っているとき、 (1) 円錐の側面積を求め、 (2) 鉄球を沈めたとき、ちょうど半分だけ水に浸かった場合の鉄球の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

問題3は、半径5cm、高さ12cmの円錐形の容器に水がいっぱいに入っているとき、

(1) 円錐の側面積を求め、

(2) 鉄球を沈めたとき、ちょうど半分だけ水に浸かった場合の鉄球の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の側面積は、$πrl$で求められます。ここで、$r$は底面の半径、$l$は母線の長さです。

半径は5cmと与えられています。母線の長さ$l$は、ピタゴラスの定理より、$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cmです。

したがって、円錐の側面積は、$π \times 5 \times 13 = 65π$ cm²です。

(2) 円錐の体積は、$V = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3}π(5^2)(12) = 100π$ cm³です。

鉄球を沈めたとき、ちょうど半分水に浸かったということは、鉄球の体積の半分が円錐の体積と同じになったということです。

鉄球の体積を$V_{球}$、半径を$R$とすると、$V_{球} = \frac{4}{3}πR^3$です。

$\frac{1}{2}V_{球} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}πR^3 = 100π$

$\frac{2}{3}πR^3 = 100π$

$R^3 = \frac{3}{2} \times 100 = 150$

$R = \sqrt[3]{150}$

選択肢に合う形にするために、もう一度問題文を確認します。

(2) 鉄球をこの容器に静かに沈めたとき、ちょうど半分だけつかりました。この球の半径を求めなさい。

円錐の体積は $100\pi$

半分沈んだので、球の体積の半分が $100\pi$

球の体積 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$\frac{1}{2} V = \frac{2}{3}\pi r^3 = 100\pi$

$\frac{2}{3}r^3 = 100$

$r^3 = 150$

$r = \sqrt[3]{150} = \sqrt[3]{\frac{600}{4}} = \frac{\sqrt[3]{600}}{\sqrt[3]{4}}$

$150 = \frac{600}{4}$

選択肢の形に合わせるのが難しいため、再確認します。鉄球が半分沈んだので、鉄球の体積の半分だけ水があふれたということになります。したがって、鉄球の体積の半分が、円錐の体積に等しくなります。

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 100\pi$

$\frac{2}{3} r^3 = 100$

$r^3 = 150$

選択肢を見ると分母に11, 12, 13, 14, 15があるため、$r = \frac{A}{B}$として$r^3$を計算し、$r^3 = 150$となるように調整します。

3. 最終的な答え

(1) 5番: $65π$ cm²

(2) 計算の結果、選択肢の中に正解はありません。