点 A(2, 3) と直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ について、次のものを求める問題です。 (1) 点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線の方程式 (2) 直線 $l$ に関して、点 A と対称な点の座標 (3) 点 A と直線 $l$ の距離

1. 問題の内容

点 A(2, 3) と直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ について、次のものを求める問題です。

(1) 点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線の方程式

(2) 直線 $l$ に関して、点 A と対称な点の座標

(3) 点 A と直線 $l$ の距離

2. 解き方の手順

(1) 点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線の方程式を求める。

直線 $l$ の方程式は $x + 2y - 1 = 0$ なので、$2y = -x + 1$ となり、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ である。

直線 $l$ に平行な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

点 A(2, 3) を通る傾き $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式は、

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2)$

$y = -\frac{1}{2}x + 1 + 3$

$y = -\frac{1}{2}x + 4$

よって、求める直線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x + 4$

または、$x + 2y - 8 = 0$

(2) 直線 $l$ に関して、点 A と対称な点の座標を求める。

点 A(2, 3) と対称な点を B(s, t) とする。

線分 AB の中点 M は $(\frac{2+s}{2}, \frac{3+t}{2})$ である。

点 M は直線 $l$ 上にあるので、$\frac{2+s}{2} + 2(\frac{3+t}{2}) - 1 = 0$

$2 + s + 2(3 + t) - 2 = 0$

$s + 2t + 6 = 0$ ...(1)

直線 AB は直線 $l$ と垂直なので、$\frac{t-3}{s-2} = 2$

$t - 3 = 2(s - 2)$

$t = 2s - 1$ ...(2)

(2) を (1) に代入すると、

$s + 2(2s - 1) + 6 = 0$

$s + 4s - 2 + 6 = 0$

$5s + 4 = 0$

$s = -\frac{4}{5}$

$t = 2(-\frac{4}{5}) - 1 = -\frac{8}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{13}{5}$

したがって、対称な点の座標は $(-\frac{4}{5}, -\frac{13}{5})$

(3) 点 A と直線 $l$ の距離を求める。

点 A(2, 3) と直線 $l: x + 2y - 1 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|1(2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 6 - 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 4$ または $x + 2y - 8 = 0$

(2) $(-\frac{4}{5}, -\frac{13}{5})$

(3) $\frac{7\sqrt{5}}{5}$