座標平面上の3点 A(1, 0), B(13, 0), C(7, 4) を頂点とする三角形 ABC について、以下の問題を解きます。 (1) 線分 AB の垂直二等分線の方程式を求めよ。 (2) 三角形 ABC の外心の座標と外接円の半径を求めよ。 (3) 三角形 ABC の面積を求めよ。 (4) 三角形 ABC の内心の座標と内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 A(1, 0), B(13, 0), C(7, 4) を頂点とする三角形 ABC について、以下の問題を解きます。

(1) 線分 AB の垂直二等分線の方程式を求めよ。

(2) 三角形 ABC の外心の座標と外接円の半径を求めよ。

(3) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(4) 三角形 ABC の内心の座標と内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB の垂直二等分線の方程式

A(1, 0), B(13, 0) の中点は $((1 + 13)/2, (0 + 0)/2) = (7, 0)$ です。

線分 AB は x 軸上にあるので、垂直二等分線は x = 7 となります。

(2) 三角形 ABC の外心の座標と外接円の半径

外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。

線分 AB の垂直二等分線は x = 7 です。

線分 BC の中点は $((13 + 7)/2, (0 + 4)/2) = (10, 2)$ です。

線分 BC の傾きは $(4 - 0)/(7 - 13) = 4/(-6) = -2/3$ です。

線分 BC の垂直二等分線の傾きは $3/2$ です。

線分 BC の垂直二等分線の方程式は $y - 2 = (3/2)(x - 10)$ であり、

$y = (3/2)x - 15 + 2 = (3/2)x - 13$ となります。

外心は $x = 7$ を満たすので、 $y = (3/2)(7) - 13 = 21/2 - 26/2 = -5/2$ となります。

よって、外心の座標は $(7, -5/2)$ です。

外接円の半径は、外心から各頂点までの距離です。

外心から A(1, 0) までの距離は $\sqrt{(7 - 1)^2 + (-5/2 - 0)^2} = \sqrt{36 + 25/4} = \sqrt{144/4 + 25/4} = \sqrt{169/4} = 13/2$ です。

(3) 三角形 ABC の面積

底辺 AB の長さは $13 - 1 = 12$ です。

高さは点 C の y 座標である 4 です。

面積は $(1/2) \times 12 \times 4 = 24$ です。

(4) 三角形 ABC の内心の座標と内接円の半径

AB = 12, BC = $\sqrt{(13-7)^2+(0-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$, CA = $\sqrt{(7-1)^2+(4-0)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

内心の座標は、

$((AB \cdot x_C + BC \cdot x_A + CA \cdot x_B)/(AB+BC+CA), (AB \cdot y_C + BC \cdot y_A + CA \cdot y_B)/(AB+BC+CA))$

$((12 \cdot 7 + 2\sqrt{13} \cdot 1 + 2\sqrt{13} \cdot 13)/(12+2\sqrt{13}+2\sqrt{13}), (12 \cdot 4 + 2\sqrt{13} \cdot 0 + 2\sqrt{13} \cdot 0)/(12+2\sqrt{13}+2\sqrt{13}))$

$= ((84+28\sqrt{13})/(12+4\sqrt{13}), 48/(12+4\sqrt{13})) = ((21+7\sqrt{13})/(3+\sqrt{13}), 12/(3+\sqrt{13}))$

$= ((21+7\sqrt{13})(3-\sqrt{13})/(9-13), 12(3-\sqrt{13})/(9-13))$

$= ((63 - 21\sqrt{13} + 21\sqrt{13} - 91)/(-4), (36-12\sqrt{13})/(-4)) = (-28/(-4), (-9+3\sqrt{13})) = (7, 3\sqrt{13}-9)$

ここで、$y = 3\sqrt{13}-9 \approx 3 \times 3.6 - 9 = 10.8 - 9 = 1.8$.

内接円の半径rは，$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を用いる。$24 = \frac{1}{2}r(12 + 4\sqrt{13})$なので、$r = 48/(12+4\sqrt{13}) = 12/(3+\sqrt{13}) = 12(3-\sqrt{13})/(9-13) = 12(3-\sqrt{13})/(-4) = -3(3-\sqrt{13}) = 3\sqrt{13}-9$

3. 最終的な答え

(1) 線分 AB の垂直二等分線の方程式: $x = 7$

(2) 三角形 ABC の外心の座標: $(7, -5/2)$, 外接円の半径: $13/2$

(3) 三角形 ABC の面積: $24$

(4) 三角形 ABC の内心の座標: $(7, 3\sqrt{13}-9)$, 内接円の半径: $3\sqrt{13}-9$