平行四辺形ABCDの辺AD上に点Eがあり、点Eと点B、Cをそれぞれ線分で結ぶ。対角線ACと線分EBの交点をFとする。このとき、三角形ABFと三角形ECFの面積の大小関係を、選択肢ア〜エの中から選びなさい。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDの辺AD上に点Eがあり、点Eと点B、Cをそれぞれ線分で結ぶ。対角線ACと線分EBの交点をFとする。このとき、三角形ABFと三角形ECFの面積の大小関係を、選択肢ア〜エの中から選びなさい。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDの面積をSとする。

平行四辺形の性質より、三角形ABCの面積は平行四辺形ABCDの面積の半分なので、

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S$

三角形EBCの面積も平行四辺形ABCDの面積の半分なので、

$S_{\triangle EBC} = \frac{1}{2} S$

よって、$\triangle ABC$の面積と$\triangle EBC$の面積は等しい。

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle EBC}$

$\triangle ABC$の面積は$\triangle ABF$の面積と$\triangle CBF$の面積の和で表され、

$\triangle EBC$の面積は$\triangle ECF$の面積と$\triangle CBF$の面積の和で表されるので、

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle CBF}$

$S_{\triangle EBC} = S_{\triangle ECF} + S_{\triangle CBF}$

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle EBC}$より、

$S_{\triangle ABF} + S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ECF} + S_{\triangle CBF}$

両辺から$S_{\triangle CBF}$を引くと、

$S_{\triangle ABF} = S_{\triangle ECF}$

よって、三角形ABFの面積と三角形ECFの面積は等しい。

3. 最終的な答え

ウ △ABFと△ECFの面積は等しい。