平行四辺形ABCDにおいて、ABの中点をP、ADの中点をQとし、CQとDPの交点をRとする。 (1) DR:RP = s:(1-s) とおくとき、$\vec{AR}$ を s, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。 (2) CR:RQ = t:(1-t) とおくとき、$\vec{AR}$ を t, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。 (3) $\vec{AR}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。 (4) 直線ARとCDの交点をXとする。$\vec{AX}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、ABの中点をP、ADの中点をQとし、CQとDPの交点をRとする。

(1) DR:RP = s:(1-s) とおくとき、$\vec{AR}$ を s, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。

(2) CR:RQ = t:(1-t) とおくとき、$\vec{AR}$ を t, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。

(3) $\vec{AR}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。

(4) 直線ARとCDの交点をXとする。$\vec{AX}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) DR:RP = s:(1-s) より、$\vec{AR} = (1-s)\vec{AD} + s\vec{AP} = (1-s)\vec{AD} + \frac{s}{2}\vec{AB}$。

よって、

$\vec{AR} = \frac{s}{2}\vec{AB} + (1-s)\vec{AD}$

(2) CR:RQ = t:(1-t) より、$\vec{AR} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AQ}$。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$、$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ であるから、

$\vec{AR} = (1-t)(\vec{AB} + \vec{AD}) + t\frac{1}{2}\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + (1-t+\frac{t}{2})\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + (1-\frac{t}{2})\vec{AD}$。

よって、

$\vec{AR} = (1-t)\vec{AB} + (1-\frac{t}{2})\vec{AD}$

(3) (1)と(2)の結果から、$\frac{s}{2} = 1-t$、 $1-s = 1-\frac{t}{2}$。

これらの式より、$s = \frac{t}{2}$ となるので、$\frac{t}{4} = 1-t$。

これを解くと、$\frac{5}{4}t = 1$ より、$t = \frac{4}{5}$。

よって、$s = \frac{2}{5}$。

したがって、

$\vec{AR} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

(4) 点Xは直線AR上にあるので、$\vec{AX} = k\vec{AR}$ (kは実数)とおける。

(3)の結果より、

$\vec{AX} = \frac{k}{5}\vec{AB} + \frac{3k}{5}\vec{AD}$

点Xは直線CD上にあるので、$\vec{AX} = \vec{AD} + l\vec{DC} = \vec{AD} + l\vec{BA} = \vec{AD} - l\vec{AB}$ (lは実数)とおける。

よって、$\vec{AX} = -l\vec{AB} + \vec{AD}$

したがって、$\frac{k}{5} = -l$、$\frac{3k}{5} = 1$。

これより、$k = \frac{5}{3}$、$l = -\frac{1}{3}$。

よって、$\vec{AX} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AR} = \frac{s}{2}\vec{AB} + (1-s)\vec{AD}$

(2) $\vec{AR} = (1-t)\vec{AB} + (1-\frac{t}{2})\vec{AD}$

(3) $\vec{AR} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

(4) $\vec{AX} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD}$