与えられた複素数 $z$ に関する2つの方程式が表す図形を求める問題です。 (1) $|z + 1 + i| = 3$ (2) $z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4 = 1$

1. 問題の内容

与えられた複素数 $z$ に関する2つの方程式が表す図形を求める問題です。

(1) $|z + 1 + i| = 3$

(2) $z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4 = 1$

2. 解き方の手順

(1) $|z + 1 + i| = 3$

この式は、$|z - (-1 - i)| = 3$ と書き換えられます。

これは、複素数平面上で点 $-1 - i$ を中心とする半径3の円を表します。

(2) $z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4 = 1$

まず、式を整理します。

$z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 3 = 0$

ここで、$z\overline{z} = |z|^2$ であることを利用します。また、$z + \overline{z} = 2\mathrm{Re}(z)$ であることを利用します。

したがって、

$|z|^2 + 2(z + \overline{z}) + 3 = 0$

$|z|^2 + 4\mathrm{Re}(z) + 3 = 0$

$z = x + yi$ とおくと、$|z|^2 = x^2 + y^2$ と $\mathrm{Re}(z) = x$ なので、

$x^2 + y^2 + 4x + 3 = 0$

$(x^2 + 4x) + y^2 + 3 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 + 3 - 4 = 0$

$(x + 2)^2 + y^2 = 1$

これは、中心が $-2 + 0i$ で半径が1の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-1 - i$、半径3の円

(2) 中心 $-2$、半径1の円