一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$とする。 $\triangle ABC$の重心をGとし、$OA$の中点をP、$OB$の中点をQ、$OC$を1:2に内分する点をRとする。 P, Q, Rを通る平面とOGとの交点をXとする。以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{OX}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (3) OXの長さを求めよ。 (4) 点Xから平面OBCに下ろした垂線の足をHとする。$\overrightarrow{OH}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$とする。

$\triangle ABC$の重心をGとし、$OA$の中点をP、$OB$の中点をQ、$OC$を1:2に内分する点をRとする。

P, Q, Rを通る平面とOGとの交点をXとする。以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OX}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(3) OXの長さを求めよ。

(4) 点Xから平面OBCに下ろした垂線の足をHとする。$\overrightarrow{OH}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OG}$は$\triangle ABC$の重心なので、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2)

点Xは平面PQR上にあるので、実数s, tを用いて

$\overrightarrow{OX} = (1-s-t)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ} + t\overrightarrow{OR}$

と表せる。

ここで、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{b}$, $\overrightarrow{OR} = \frac{1}{3}\vec{c}$なので、

$\overrightarrow{OX} = (1-s-t)\frac{1}{2}\vec{a} + s\frac{1}{2}\vec{b} + t\frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1-s-t}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c}$

また、点Xは直線OG上にあるので、実数kを用いて

$\overrightarrow{OX} = k\overrightarrow{OG} = k\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{k}{3}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1-s-t}{2} = \frac{k}{3}$

$\frac{s}{2} = \frac{k}{3}$

$\frac{t}{3} = \frac{k}{3}$

これらを解くと、$s = \frac{2}{3}k$, $t = k$

$\frac{1 - \frac{2}{3}k - k}{2} = \frac{k}{3}$

$1 - \frac{5}{3}k = \frac{2}{3}k$

$1 = \frac{7}{3}k$

$k = \frac{3}{7}$

したがって、

$\overrightarrow{OX} = \frac{3}{7}\overrightarrow{OG} = \frac{3}{7} \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{7}$

(3)

$|\overrightarrow{OX}|^2 = \frac{1}{49}|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \frac{1}{49}(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{c}\cdot\vec{a})$

正四面体なので、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{OX}|^2 = \frac{1}{49}(1 + 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{49}(3+3) = \frac{6}{49}$

$|\overrightarrow{OX}| = \sqrt{\frac{6}{49}} = \frac{\sqrt{6}}{7}$

(4)

点Hは平面OBC上にあるので、実数u, vを用いて

$\overrightarrow{OH} = u\vec{b} + v\vec{c}$

$\overrightarrow{XH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OX} = u\vec{b} + v\vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{7} = -\frac{1}{7}\vec{a} + (u-\frac{1}{7})\vec{b} + (v-\frac{1}{7})\vec{c}$

$\overrightarrow{XH}$は平面OBCに垂直なので、$\overrightarrow{XH} \cdot \vec{b} = 0$かつ$\overrightarrow{XH} \cdot \vec{c} = 0$

$\overrightarrow{XH} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{7}(\vec{a}\cdot\vec{b}) + (u-\frac{1}{7})|\vec{b}|^2 + (v-\frac{1}{7})(\vec{b}\cdot\vec{c}) = -\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{2} + (u-\frac{1}{7})\cdot1 + (v-\frac{1}{7})\cdot\frac{1}{2} = 0$

$-\frac{1}{14} + u - \frac{1}{7} + \frac{1}{2}v - \frac{1}{14} = 0$

$u + \frac{1}{2}v = \frac{2}{14} + \frac{1}{7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$\overrightarrow{XH} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{7}(\vec{a}\cdot\vec{c}) + (u-\frac{1}{7})(\vec{b}\cdot\vec{c}) + (v-\frac{1}{7})|\vec{c}|^2 = -\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{2} + (u-\frac{1}{7})\cdot\frac{1}{2} + (v-\frac{1}{7})\cdot1 = 0$

$-\frac{1}{14} + \frac{1}{2}u - \frac{1}{14} + v - \frac{1}{7} = 0$

$\frac{1}{2}u + v = \frac{1}{7} + \frac{2}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$u + \frac{1}{2}v = \frac{2}{7}$

$\frac{1}{2}u + v = \frac{2}{7}$

$2u + v = \frac{4}{7}$

$u + 2v = \frac{4}{7}$

$2u + 4v = \frac{8}{7}$

$3v = \frac{4}{7}$

$v = \frac{4}{21}$

$u = \frac{4}{7} - 2v = \frac{4}{7} - \frac{8}{21} = \frac{12 - 8}{21} = \frac{4}{21}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{4}{21}\vec{b} + \frac{4}{21}\vec{c} = \frac{4}{21}(\vec{b} + \vec{c})$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\overrightarrow{OX} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{7}$

(3) $|\overrightarrow{OX}| = \frac{\sqrt{6}}{7}$

(4) $\overrightarrow{OH} = \frac{4}{21}(\vec{b} + \vec{c})$