平行四辺形ABCDにおいて、ABの中点をP、ADの中点をQとし、CQとDPの交点をRとする。 (1) DR:RP = s:(1-s)のとき、$\vec{AR}$をs, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。 (2) CR:RQ = t:(1-t)のとき、$\vec{AR}$をt, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。 (3) $\vec{AR}$を$\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。 (4) 直線ARとCDの交点をXとする。$\vec{AX}$を$\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、ABの中点をP、ADの中点をQとし、CQとDPの交点をRとする。

(1) DR:RP = s:(1-s)のとき、$\vec{AR}$をs, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

(2) CR:RQ = t:(1-t)のとき、$\vec{AR}$をt, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

(3) $\vec{AR}$を$\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

(4) 直線ARとCDの交点をXとする。$\vec{AX}$を$\vec{AB}$, $\vec{AD}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) DR:RP = s:(1-s)のとき、$\vec{AR} = (1-s)\vec{AD} + s\vec{AP}$と表せる。

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB}$より、

$\vec{AR} = (1-s)\vec{AD} + s(\frac{1}{2}\vec{AB})$

$\vec{AR} = \frac{s}{2}\vec{AB} + (1-s)\vec{AD}$

(2) CR:RQ = t:(1-t)のとき、$\vec{AR} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AQ}$と表せる。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$、$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AD}$より、

$\vec{AR} = (1-t)(\vec{AB} + \vec{AD}) + t(\frac{1}{2}\vec{AD})$

$\vec{AR} = (1-t)\vec{AB} + (1-t)\vec{AD} + \frac{t}{2}\vec{AD}$

$\vec{AR} = (1-t)\vec{AB} + (1-\frac{t}{2})\vec{AD}$

(3) (1)と(2)より、

$\frac{s}{2} = 1-t$

$1-s = 1-\frac{t}{2}$

よって、$\frac{s}{2} = 1-t$より$s = 2-2t$

$1-s = 1-\frac{t}{2}$より$s = \frac{t}{2}$

$2-2t = \frac{t}{2}$

$4 = 5t$

$t = \frac{4}{5}$

$s = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$\vec{AR} = \frac{s}{2}\vec{AB} + (1-s)\vec{AD} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

(4) $\vec{AX} = k\vec{AR}$とおける。$\vec{AR} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD}$より、

$\vec{AX} = \frac{k}{5}\vec{AB} + \frac{3k}{5}\vec{AD}$

$\vec{AX} = \vec{AD} + l\vec{DC}$

$\vec{AX} = \vec{AD} + l\vec{AB}$

$\frac{k}{5} = l$

$\frac{3k}{5} = 1$

$k = \frac{5}{3}$

$\vec{AX} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AR} = \frac{s}{2}\vec{AB} + (1-s)\vec{AD}$

(2) $\vec{AR} = (1-t)\vec{AB} + (1-\frac{t}{2})\vec{AD}$

(3) $\vec{AR} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

(4) $\vec{AX} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD}$