座標平面上に一辺の長さが6の正三角形ABCがある。三角形ABCの重心は原点にあり、辺BCはx軸に平行である。頂点Aはy軸上にあり、そのy座標は正である。頂点Cのx座標は正である。直線$y=x$に関して、3点A, B, Cと対称な点をそれぞれA', B', C'とする。 (1) C'の座標を求めよ。 (2) 次の点の座標を求めよ。 (i) 辺BCと辺B'C'の交点P (ii) 辺BCと辺A'B'の交点Q (3) 三角形ABCと三角形A'B'C'が重なる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に一辺の長さが6の正三角形ABCがある。三角形ABCの重心は原点にあり、辺BCはx軸に平行である。頂点Aはy軸上にあり、そのy座標は正である。頂点Cのx座標は正である。直線$y=x$に関して、3点A, B, Cと対称な点をそれぞれA', B', C'とする。

(1) C'の座標を求めよ。

(2) 次の点の座標を求めよ。

(i) 辺BCと辺B'C'の交点P

(ii) 辺BCと辺A'B'の交点Q

(3) 三角形ABCと三角形A'B'C'が重なる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの頂点の座標を求める。重心が原点にあり、辺BCがx軸に平行なので、頂点Aはy軸上にある。Aの座標を$(0, a)$とおくと、重心の座標は

$\frac{0 + x_B + x_C}{3} = 0$

$\frac{a + y_B + y_C}{3} = 0$

である。$x_B = -x_C$であり、$y_B = y_C$である。

したがって、$a + 2y_B = 0$より、$y_B = -\frac{a}{2}$。

辺BCの長さは6なので、$x_C - x_B = 2x_C = 6$。よって、$x_C = 3$。

したがって、$C(3, -\frac{a}{2})$、$B(-3, -\frac{a}{2})$。

AB間の距離は6なので、$(-3-0)^2 + (-\frac{a}{2} - a)^2 = 36$。

$9 + \frac{9}{4}a^2 = 36$

$\frac{9}{4}a^2 = 27$

$a^2 = 12$

$a = 2\sqrt{3}$

したがって、Aの座標は$(0, 2\sqrt{3})$、Bの座標は$(-3, -\sqrt{3})$、Cの座標は$(3, -\sqrt{3})$となる。

(1) C'の座標は、C(3, -$\sqrt{3}$)を直線$y=x$に関して対称移動したものなので、座標を入れ替えて$C'(-\sqrt{3}, 3)$。

(2)

(i) 点B'、C'の座標はそれぞれ$B'(-\sqrt{3}, -3)$, $C'(-\sqrt{3}, 3)$

BCの直線の方程式は、$y = -\sqrt{3}$。

B'C'の直線の方程式は、$x = -\sqrt{3}$。

したがって、BCとB'C'の交点Pは$(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$。

(ii) 点A'の座標は$(2\sqrt{3}, 0)$。

A'B'を通る直線の傾きは、$\frac{0 - (-3)}{2\sqrt{3} - (-\sqrt{3})} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

したがって、A'B'の直線の方程式は、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2\sqrt{3})$。つまり、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2$

辺BCの直線は、$y = -\sqrt{3}$。

交点Qの座標を求めるために、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2 = -\sqrt{3}$を解く。

$\frac{1}{\sqrt{3}}x = 2 - \sqrt{3}$

$x = 2\sqrt{3} - 3$

したがって、Qの座標は$(2\sqrt{3} - 3, -\sqrt{3})$

(3)

三角形ABCと三角形A'B'C'が重なる部分の面積は正六角形になる。

座標から考えると、正三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}6^2 = 9\sqrt{3}$。

重なった部分は元の正三角形の1/3の面積となる。したがって、重なる部分の面積は$\frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) C'の座標: $(-\sqrt{3}, 3)$

(2) (i) Pの座標: $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$

(ii) Qの座標: $(2\sqrt{3}-3, -\sqrt{3})$

(3) 重なる部分の面積: $3\sqrt{3}$