三角形ABCの辺AB, AC上にそれぞれ点P, Qをとる。線分BQと線分CPの交点をOとし、直線AOと線分PQ, BCとの交点をそれぞれL, Mとする。このとき、$\frac{AL}{LO} = \frac{AM}{MO}$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺AB, AC上にそれぞれ点P, Qをとる。線分BQと線分CPの交点をOとし、直線AOと線分PQ, BCとの交点をそれぞれL, Mとする。このとき、$\frac{AL}{LO} = \frac{AM}{MO}$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理を三角形ABCに対して適用する。点P, Qはそれぞれ辺AB, AC上にあり、点Mは辺BC上にある。線分AP, BQ, CMは点Oで交わるので、チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

(2) メネラウスの定理を三角形ABMに対して、直線PLQを適用する。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BL}{LM} \cdot \frac{MQ}{QA} = 1$

(3) メネラウスの定理を三角形ACMに対して、直線BLOを適用する。

$\frac{AO}{OM} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{CL}{LA} = 1$

(4) メネラウスの定理を三角形AOMに対して、直線LPLを適用する。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BM} \cdot \frac{MO}{OA} = 1$

(5) 三角形APQと三角形ABCに対して、メネラウスの定理を直線L-O-Mに適用する。

$\frac{AL}{LQ} \cdot \frac{QB}{BC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$

(6) 三角形QPCと三角形ABCに対して、メネラウスの定理を直線L-O-Mに適用する。

$\frac{AQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BL}{LC} = 1$

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三角形APQに直線B-L-Mでメネラウスの定理を適用すると

$\frac{AL}{LP} \cdot \frac{PM}{MB} \cdot \frac{BA}{AQ} = 1$

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同様に三角形QPCに直線B-L-Mでメネラウスの定理を適用すると

$\frac{CM}{MO} \cdot \frac{OP}{PB} \cdot \frac{BL}{LA} = 1$

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チェバの定理を使う。

三角形ABCにおいて、CP, BQ, ARは一点Oで交わるので

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

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三角形MBCに直線AOでメネラウスの定理を適用すると

$\frac{MA}{AC} \cdot \frac{CO}{OP} \cdot \frac{PL}{LB} = 1$

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メネラウスの定理とチェバの定理より

$\frac{AL}{LO} = \frac{AM}{MO}$

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3. 最終的な答え

$\frac{AL}{LO} = \frac{AM}{MO}$ である。