空間内の2点 $A(1,2,3)$ と $B(1,0,1)$ の垂直二等分面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

空間内の2点 $A(1,2,3)$ と $B(1,0,1)$ の垂直二等分面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

垂直二等分面上の点 $P(x,y,z)$ は、点 $A$ と点 $B$ からの距離が等しいという性質を持ちます。

つまり、$AP = BP$ が成り立ちます。したがって、$AP^2 = BP^2$ も成り立ちます。

$AP^2$ および $BP^2$ をそれぞれ計算し、それらを等しいとおくことで、垂直二等分面の方程式を導出します。

ステップ1：$AP^2$を計算します。

$AP^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2$

$AP^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9$

$AP^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 14$

ステップ2：$BP^2$を計算します。

$BP^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-1)^2$

$BP^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 - 2z + 1$

$BP^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z + 2$

ステップ3：$AP^2 = BP^2$ より、垂直二等分面の方程式を求めます。

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 14 = x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z + 2$

$-4y - 6z + 14 = -2z + 2$

$-4y - 4z = -12$

$4y + 4z = 12$

$y + z = 3$

3. 最終的な答え

$y + z = 3$