(1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ ($90^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\tan \theta = -\sqrt{2}$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ ($90^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\tan \theta = -\sqrt{2}$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$\theta$ が $90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲にあるので、$\cos \theta \le 0$ であることに注意する。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\sin \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので $\cos \theta \le 0$ だから、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{\sqrt{5}}) = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$\theta$ が $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲にあるので、$\tan \theta < 0$ より $90^\circ < \theta < 180^\circ$ となり、$\cos \theta < 0$, $\sin \theta > 0$ である。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ に $\tan \theta = -\sqrt{2}$ を代入すると、

$(-\sqrt{2})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので $\cos \theta < 0$ だから、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$