座標平面上に3点A(1, 2), B(2, 3), C(6, 10)がある。 (1) 座標平面上の点D(s, t)に対し、$\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}$となるとき、s, tの値を求めよ。 (2) 座標平面上の動点P(x, y)に対し、$|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = 6$であるとき、x, yの関係式を求め、それを座標平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(1, 2), B(2, 3), C(6, 10)がある。

(1) 座標平面上の点D(s, t)に対し、$\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}$となるとき、s, tの値を求めよ。

(2) 座標平面上の動点P(x, y)に対し、$|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = 6$であるとき、x, yの関係式を求め、それを座標平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}$より、$\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{OD} - \vec{OA} + \vec{OD} - \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OC} = 3\vec{OD} - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{0}$

したがって、

$3\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

$\vec{OD} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

$\vec{OA} = (1, 2)$, $\vec{OB} = (2, 3)$, $\vec{OC} = (6, 10)$なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}((1, 2) + (2, 3) + (6, 10)) = \frac{1}{3}(9, 15) = (3, 5)$

したがって、D(s, t) = (3, 5)より、s = 3, t = 5

(2) $|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = 6$より、$\vec{PG} = \frac{\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}}{3}$とすると、$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = 3 \vec{PG}$ となる。

よって、$|3\vec{PG}| = 6$より、$|\vec{PG}| = 2$

ここで、$G = \frac{A+B+C}{3}$ は三角形ABCの重心なので、$G = (\frac{1+2+6}{3}, \frac{2+3+10}{3}) = (3, 5)$

$|\vec{PG}| = 2$は、点Pと点Gとの距離が2であることを示す。

つまり、点Pは点Gを中心とする半径2の円周上にある。

$G = (3, 5)$, $P = (x, y)$なので、$\sqrt{(x-3)^2 + (y-5)^2} = 2$

したがって、$(x-3)^2 + (y-5)^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) s = 3, t = 5

(2) $(x-3)^2 + (y-5)^2 = 4$

この関係式は、中心(3, 5)、半径2の円を表す。