点 $P(0, -1, -1)$ と点 $Q(1, 0, -4)$ を通る直線のベクトル方程式（パラメータ表示）を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P(0, -1, -1)$ と点 $Q(1, 0, -4)$ を通る直線のベクトル方程式（パラメータ表示）を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点 $(x, y, z)$ を表すベクトルは、点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ と、方向ベクトル $\vec{PQ}$ の実数倍の和で表されます。つまり、パラメータ$t$を用いて以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{p} + t \vec{PQ}$

まず、$\vec{p}$ を求めます。点Pの座標から、$\vec{p}$ は次のようになります。

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、方向ベクトル $\vec{PQ}$ を求めます。$\vec{PQ}$ は点Qの位置ベクトルから点Pの位置ベクトルを引くことで求められます。

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

したがって、求めるベクトル方程式は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$