$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{OA} = \vec{a}$、 $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

点 $L$ は辺 $AB$ を $2:3$ に内分するので、

$$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$$

点 $P$ は線分 $OL$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$$\vec{OP} = s\vec{OL} = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$$

点 $P$ は線分 $BM$ 上にもあるので、$t$ を実数として、

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$$

$M$ は $OA$ の中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$。したがって

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{a} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}, \quad \frac{2s}{5} = 1-t$$

これらを解くと、

$$6s = 5t, \quad 2s = 5 - 5t$$

$$6s = 5t, \quad 6s = 15 - 15t$$

$$5t = 15 - 15t$$

$$20t = 15$$

$$t = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$

$$\vec{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{OM}$ より、$BP:PM = t:(1-t) = \frac{3}{4}:\frac{1}{4} = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$