与えられた直線の方程式 $2+x = -\frac{2+y}{2} = -\frac{1+z}{2}$ のパラメータ表示として正しいものをすべて選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた直線の方程式 $2+x = -\frac{2+y}{2} = -\frac{1+z}{2}$ のパラメータ表示として正しいものをすべて選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式から $x, y, z$ を $t$ の関数として表します。

$2+x = -\frac{2+y}{2} = -\frac{1+z}{2} = t$ とおきます。

すると、

$2+x = t \implies x = t-2$

$-\frac{2+y}{2} = t \implies 2+y = -2t \implies y = -2t - 2$

$-\frac{1+z}{2} = t \implies 1+z = -2t \implies z = -2t - 1$

したがって、直線のパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-2 \\ -2t-2 \\ -2t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

となります。

各選択肢について、上のパラメータ表示と等価かどうかを調べます。

1. $\begin{pmatrix} 1-2t \\ -2+2t \\ -2-t \end{pmatrix}$

$t=0$ のとき $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、これは $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と一致しません。誤りです。

2. $\begin{pmatrix} -2-2t \\ 2+2t \\ -1-t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

これは正しいパラメータ表示ではありません。

3. $\begin{pmatrix} -1-t \\ -2t \\ -3-2t \end{pmatrix}$

$t=-1$とすると、$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$t=0$とすると、$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$

この選択肢は正しくないようです。

4. $\begin{pmatrix} -2+2t \\ 2-4t \\ -1-4t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

原点の位置が異なり、方向ベクトルは正しいので、正しいパラメータ表示です。

5. $\begin{pmatrix} -1+t \\ -2-2t \\ -2-2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

原点の位置が異なります。$t=0$ を代入すると $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ となり、これは $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と一致しません。誤りです。

パラメータ表示の初期値（$t=0$ のとき）が異なるだけで、方向ベクトルが同じであれば、それは同じ直線を表現しています。

4の選択肢は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

であり、これは

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

であるため、正しい表現です。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -2+2t \\ 2-4t \\ -1-4t \end{pmatrix}$