直線 $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ を含み、点 $(2, 3, 2)$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

直線 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を含み、点 $(2, 3, 2)$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とする。

直線上の点は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ -1+t \end{pmatrix}$ と表せる。

この直線上の点を含む平面上に点 $(2,3,2)$ があるので、ベクトル $\begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-0 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は平面に含まれる。

また、$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ は平面上の点なので、$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-0 \\ z-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-1 \\ y \\ z+1 \end{pmatrix}$ も平面に含まれる。

よって、これらの3つのベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} x-1 \\ y \\ z+1 \end{pmatrix}$ は同一平面上にある。

同一平面上にあるということは、これらの3つのベクトルで作られる行列式が0となる。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & x-1 \\ 3 & 1 & y \\ 3 & 1 & z+1 \end{vmatrix} = 0$

行列式を計算する。

$1(1(z+1) - 1(y)) - 0 + (x-1)(3(1) - 3(1)) = 0$

$z+1 - y + (x-1)(0) = 0$

$z+1 - y = 0$

$-y + z + 1 = 0$

$0x -y + z + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$0x + (-1)y + 1z + 1 = 0$

なので、答えは 0, -1, 1, 1