点A(1, 10), B(-4, 0), C(6, 5)が与えられたとき、以下のものを求める。 (1) 線分ABの長さ (2) 三角形ABCの重心の座標 (3) 線分ABを3:2に内分する点Dの座標 (4) 線分CAを2:3に外分する点Eの座標 (5) 点Aに関して、点Bと対称な点Fの座標 また、以下の直線の方程式を求める。 (1) 点(-2, 1)を通り、傾きが5の直線 (2) 2点(2, -1), (1, 3)を通る直線

1. 問題の内容

点A(1, 10), B(-4, 0), C(6, 5)が与えられたとき、以下のものを求める。

(1) 線分ABの長さ

(2) 三角形ABCの重心の座標

(3) 線分ABを3:2に内分する点Dの座標

(4) 線分CAを2:3に外分する点Eの座標

(5) 点Aに関して、点Bと対称な点Fの座標

また、以下の直線の方程式を求める。

(1) 点(-2, 1)を通り、傾きが5の直線

(2) 2点(2, -1), (1, 3)を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの長さ

線分ABの長さは、2点間の距離の公式を用いて求められる。

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$AB = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

(2) 三角形ABCの重心の座標

三角形の重心の座標は、各頂点の座標の平均で求められる。

$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$

$G = (\frac{1 + (-4) + 6}{3}, \frac{10 + 0 + 5}{3}) = (\frac{3}{3}, \frac{15}{3}) = (1, 5)$

(3) 線分ABを3:2に内分する点Dの座標

内分点の座標は、以下の公式を用いて求められる。

$D = (\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n})$

$D = (\frac{3(-4) + 2(1)}{3 + 2}, \frac{3(0) + 2(10)}{3 + 2}) = (\frac{-12 + 2}{5}, \frac{0 + 20}{5}) = (\frac{-10}{5}, \frac{20}{5}) = (-2, 4)$

(4) 線分CAを2:3に外分する点Eの座標

外分点の座標は、以下の公式を用いて求められる。

$E = (\frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m - n})$

$E = (\frac{2(1) - 3(6)}{2 - 3}, \frac{2(10) - 3(5)}{2 - 3}) = (\frac{2 - 18}{-1}, \frac{20 - 15}{-1}) = (\frac{-16}{-1}, \frac{5}{-1}) = (16, -5)$

(5) 点Aに関して、点Bと対称な点Fの座標

点Aが線分BFの中点となるので、Fの座標を(x, y)とすると、

$\frac{x + (-4)}{2} = 1$, $\frac{y + 0}{2} = 10$

$x - 4 = 2$, $y = 20$

$x = 6$, $y = 20$

よって、F(6, 20)

直線の方程式

(1) 点(-2, 1)を通り、傾きが5の直線

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 1 = 5(x - (-2))$

$y - 1 = 5(x + 2)$

$y - 1 = 5x + 10$

$y = 5x + 11$

(2) 2点(2, -1), (1, 3)を通る直線

傾きは$\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - (-1) = -4(x - 2)$

$y + 1 = -4x + 8$

$y = -4x + 7$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{5}$

(2) (1, 5)

(3) (-2, 4)

(4) (16, -5)

(5) (6, 20)

直線の方程式

(1) $y = 5x + 11$

(2) $y = -4x + 7$