直線 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を含み、点 $(2, 3, 2)$ を通る平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を含み、点 $(2, 3, 2)$ を通る平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線上の2点を見つける。

$t = 0$ のとき、点 $A = (1, 0, -1)$

$t = 1$ のとき、点 $B = (1, 1, 0)$

平面上の3点 $A = (1, 0, -1)$, $B = (1, 1, 0)$, $C = (2, 3, 2)$ を用いて、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1, 1-0, 0-(-1)) = (0, 1, 1)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 3-0, 2-(-1)) = (1, 3, 3)$

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積で求められる。

$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (1)(3) \\ (1)(1) - (0)(3) \\ (0)(3) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3 \\ 1 - 0 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

平面の方程式は $n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$ と表せる。

ここで、$\vec{n} = (0, 1, -1)$ であり、$A = (1, 0, -1)$ を平面上の点として用いると、

$0(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - (-1)) = 0$

$0 + y - (z + 1) = 0$

$y - z - 1 = 0$

$0x + y - z - 1 = 0$

$0x + y - z = 1$

しかし、解答欄の形から、定数項が左辺にある必要があるので、$0x + y - z - 1 = 0$ となる。平面の方程式は $ax + by + cz + d = 0$ の形で与えられているので、$a = 0$, $b = 1$, $c = -1$, $d = -1$ となる。しかし問題文には0や1を入力するように指示されている。

点 $(2, 3, 2)$ を通る必要があるので、これを代入すると、 $0(2) + 3 - 2 - 1 = 0$ となり、方程式を満たしていることが確認できる。

$y - z - 1 = 0$ と同値な方程式を係数が整数になるように変形する必要はない。

したがって、平面の方程式は $0x + y - z - 1 = 0$ であり、係数はそれぞれ $0, 1, -1, -1$となる。

しかし、解答形式に合わせる必要があるので、$0x+1y+(-1)z+(-1) = 0$

3. 最終的な答え

0x + 1y + (-1)z + (-1) = 0